特殊數列恒等式的矩陣證明

作者：陳香蘭

**：《新課程·中學》2023年第09期

數列是中學數學中乙個很重要的知識點，等比數列和等差數列是其中最基本的數列。在實際應用中，還存在著各種各樣的無窮數列。其中有一種被稱為斐波那契數（fibonacci sequences），記作fn，由於其本身的特色性，被很多數學家研究。

美國數學會還出版了一種季刊——《斐波那契數》（《fibonacci sequences》），專門刊登對這類數研究的**。斐波那契數是一種特殊的無窮數列：0，1，1，2，3，5，8，13，…也可以遞推關係定義：

fn+2=fn+1+fn

其中f0=0，f1=1。斐波那契數在現代物理、化學晶體結構、數學各個分支理論研究等方面應用廣泛[2，5]。

盧卡斯數（lucus sequences）ln是另外一種無窮數列，可以表示為ln+2=ln+1+ln

其中l0=2，l1=1。作為一種著名的數，盧卡斯數的性質被廣泛地研究。比如，盧卡斯數中的平方數只有1和4，它還與很多數論方面的研究相關，尤其是在解偶次丟番圖方程方面。

關於盧卡斯數的一些性質可見[3，4]。斐波那契數和盧卡斯數關係密切，有著相同的遞推關係，只是初始值不同，它們還有其他很多相似的性質。這兩類數還滿足不少恒等式，比如：

fm+1ln+fmln-1=fm+n （1）

我們可以把等式寫成如下形式：

ln=fkln+1-k+fk-1ln-k （2）

其中k是整數，且滿足0≤k≤n-1。即

ln=f1ln+f0ln-1=f2ln-1+f1ln-2=…=fn-1l2+fn-2l1 （3）

矩陣也是高中數學中用得很多的乙個概念。矩陣理論在大學數學中也是很重要的知識。矩陣在科學研究計算等各方面應用廣泛。本文通過構造一類矩陣給出等式（1）的另外一種證明。