數學歸納法
（1）第一數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
1 （1．數學歸納法的基本形式）時，成立；
②假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
（2）第二數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
①當（）時，成立；
②假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
2．數學歸納法的其他形式
（1）跳躍數學歸納法
①當時，成立，
②假設時成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
（2）反向數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
1 對無限多個正整數成立；
②假設時，命題成立，則當時命題也成立，那麼根據①②對一切正整數時，成立．
例如，用數學歸納法證明：為非負實數，有
在證明中，由真，不易證出真；然而卻很容易證出真，又容易證明不等式對無窮多個（只要型的自然數）為真；從而證明，不等式成立．
（3）螺旋式歸納法
p（n），q（n）為兩個與自然數有關的命題，假如
①p(n0)成立；
②假設 p(k) (k>n0)成立，能推出q(k)成立，假設 q(k)成立，能推出 p(k+1)成立；
綜合（1）（2）,對於一切自然數n（>n0），p(n),q(n)都成立；
（4）雙重歸納法
設是乙個含有兩上獨立自然數的命題．
①與對任意自然數成立；
②若由和成立，能推出成立；
根據（1）、（2）可斷定，對一切自然數均成立．
3．應用數學歸納法的技巧
（1）起點前移：有些命題對一切大於等於1的正整數正整數都成立，但命題本身對也成立，而且驗證起來比驗證時容易，因此用驗證成立代替驗證，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以．因而為了便於起步，有意前移起點．
（2）起點增多：有些命題在由向跨進時，需要經其他特殊情形作為基礎，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點．
（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當可以改變跨度，但注意起點也應相應增多．
（4）選擇合適的假設方式：歸納假設為一定要拘泥於「假設時命題成立」不可，需要根據題意採取第
一、第二、跳躍、反向數學歸納法中的某一形式，靈活選擇使用．
（5）變換命題：有些命題在用數學歸納證明時，需要引進乙個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明．
5．歸納、猜想和證明
在數學中經常通過特例或根據一部分物件得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經常採用數學歸納法證明．不完全歸納法是發現規律、解決問題極好的方法．
從0以外的數字開始
如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有大於等於某個數字b的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
第一步，證明當n=b時命題成立。第二步，證明如果n=m(m≥b)成立，那麼可以推導出n=m+1也成立。用這個方法可以證明諸如「當n≥3時，n2>2n」這一類命題。
只針對偶數或只針對奇數
如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
奇數方面：
第一步，證明當n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
偶數方面：
第一步，證明當n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
遞降歸納法
數學歸納法並不是只能應用於形如「對任意的n」這樣的命題。對於形如「對任意的n=0,1,2,...,m」這樣的命題，如果對一般的n比較複雜，而n=m比較容易驗證，並且我們可以實現從k到k-1的遞推，k=1,...
,m的話，我們就能應用歸納法得到對於任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。
一般地，證明乙個與自然數n有關的命題p(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第乙個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立。
對於某個與自然數有關的命題p(n），
（1）驗證n=n0時p(n）成立；
（2）假設n0≤n<=k時p(n）成立，並在此基礎上，推出p(k+1）成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立。
（1）驗證對於無窮多個自然數n命題p(n）成立（無窮多個自然數可以是乙個無窮數列中的數，如對於算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設p(k+1）（k≥n0）成立，並在此基礎上，推出p(k）成立，
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立；
對兩個與自然數有關的命題p(n），q(n），
（1）驗證n=n0時p(n）成立；
（2）假設p(k）（k>n0）成立，能推出q(k）成立，假設 q(k）成立，能推出 p(k+1）成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），p(n），q(n）都成立。
高考數學歸納法知識點精華總結
數學探索版權所有數學探索版權所有 數學歸納法 1 數學歸納法的基本形式 設p n 是關於自然數n的命題，若 1 p n0 成立 奠基 2 假設p k 成立 k n0 可以推出p k 1 成立 歸納 則p n 對一切大於等於n0的自然數n都成立 典型題例示範講解 例3是否存在a b c使得等式1 22...
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數學歸納法製作人 徐凱 精講部分 年級 高三科目 數學型別 同步 難易程度 中建議用時 20 25min 一.知識點 1 數學歸納法的定義 一般地，證明乙個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立 這種證明方法叫做數學歸納法 2 數學...
數學歸納法
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