空間向量與立體幾何解答題精選
1 已知四稜錐的底面為直角梯形,,底面,且,,是的中點(ⅰ)證明:面面;
(ⅱ)求與所成的角;
(ⅲ)求面與面所成二面角的大小
證明:以為座標原點長為單位長度,如圖建立空間直角座標系,則各點座標為(ⅰ)證明:因
由題設知,且與是平面內的兩條相交直線,由此得面又在面上,故面⊥面(ⅱ)解:因
(ⅲ)解:在上取一點,則存在使要使為
所求二面角的平面角
2 如圖,在四稜錐中,底面是正方形,側面是正三角形,平面底面
(ⅰ)證明:平面;
(ⅱ)求面與面所成的二面角的大小
證明:以為座標原點,建立如圖所示的座標圖系(ⅰ)證明:不防設作,
則,,由得,又,因而與平面內兩條相交直線,都垂直 ∴平面(ⅱ)解:設為中點,則,
由因此,是所求二面角的平面角,
解得所求二面角的大小為
3 如圖,在四稜錐中,底面為矩形,側稜底面,,,, 為的中點(ⅰ)求直線與所成角的余弦值;
(ⅱ)在側面內找一點,使麵,
並求出點到和的距離
解:(ⅰ)建立如圖所示的空間直角座標系,
則的座標為、
、、、、,
從而設的夾角為,則
∴與所成角的余弦值為
(ⅱ)由於點在側面內,故可設點座標為,則
,由麵可得,
∴即點的座標為,從而點到和的距離分別為
4 如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截面而得到的,其中
(ⅰ)求的長; (ⅱ)求點到平面的距離
解:(i)建立如圖所示的空間直角座標系,則,設 ∵為平行四邊形,
(ii)設為平面的法向量,
的夾角為,則
∴到平面的距離為
5 如圖,在長方體,中,,點在稜上移動 (1)證明:;
(2)當為的中點時,求點到面的距離;
(3)等於何值時,二面角的大小為
解:以為座標原點,直線分別為軸,建立空間直角座標系,設,則(1)(2)因為為的中點,則,從而,
,設平面的法向量為,則
也即,得,從而,所以點到平面的距離為
(3)設平面的法向量,∴
由令,∴
依題意∴(不合,捨去),
∴時,二面角的大小為
6 如圖,在三稜柱中,側面,為稜上異於的一點,,已知,求:
(ⅰ)異面直線與的距離;
(ⅱ)二面角的平面角的正切值
解:(i)以為原點,、分別為軸建立空間直角座標系由於,
在三稜柱中有,設
又側面,故因此是異面直線的公垂線,
則,故異面直線的距離為
(ii)由已知有故二面角的平面角的大小為向量的夾角7 如圖,在四稜錐中,底面為矩形,底面,是上一點, 已知
求(ⅰ)異面直線與的距離;
(ⅱ)二面角的大小
解:(ⅰ)以為原點,、、分別為
軸建立空間直角座標系
由已知可得
設 由,
即由,又,故是異面直線與的公垂線,易得,故異面直線,的距離為
(ⅱ)作,可設由得
即作於,設,則由,
又由在上得
因故的平面角的大小為向量的夾角
故即二面角的大小為
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空間向量與立體幾何解答題精選 1 已知四稜錐的底面為直角梯形,底面,且,是的中點 證明 面面 求與所成的角 求面與面所成二面角的大小 證明 以為座標原點長為單位長度,如圖建立空間直角座標系,則各點座標為 證明 因 由題設知,且與是平面內的兩條相交直線,由此得面又在面上,故面 面 解 因 解 在上取一...
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