例7 有高為1公尺的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘公尺. 開始時容器內盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器裡水面的高度(水面與孔口中心間的距離)隨時間的變化規律.
解由力學知識得，水從孔口流出的流量為
流量係數孔口截面面積重力加速度
①設在微小的時間間隔水面的高度由降至則
②比較①和②得:
即為未知函式得微分方程.
所求規律為
例10 求解微分方程
解原方程變形為
令則方程化為
分離變數得
兩邊積分得
整理得所求微分方程的解為
例13 拋物線的光學性質. 例項:車燈的反射鏡面
旋轉拋物面.
解設旋轉軸軸，光源在
設為上任一點，為切線，斜率為為法線，斜率為
由夾角正切公式得
得微分方程
令方程化為分離變數得
令得積分得即
平方化簡得
代回得所求旋轉軸為軸得旋轉拋物面的方程為
例14（e07）設河邊點o的正對岸為點a, 河寬, 兩岸為平行直線, 水流速度為, 有一鴨子從點a游向點o, 設鴨子(在靜水中)的游速為, 且鴨子游動方向始終朝著點o, 求鴨子游過的跡線的方程.
解設水流速度為鴨子游速為則鴨子實際運動速度為
取座標系如圖，設在時刻鴨子位於點則鴨子運動速度
故有現在而其中為與同方向的單位向量.
由故於是
由此得微分方程
即初始條件為令則代入上面的方程,得
分離變數得
積分得即
故將初始條件代入上式得故所求跡線方程為
一、一階線性微分方程
形如3.1)
的方程稱為一階線性微分方程. 其中函式、是某一區間上的連續函式. 當方程(3.1)成為
3.2)
這個方程稱為一階齊次線性方程. 相應地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程.
方程(3.2)的通解
3.3)
其中為任意常數.
求解一階非齊次線性微分方程的常數變易法：即在求出對應齊次方程的通解(3.3)後，將通解中的常數變易為待定函式，並設一階非齊次方程通解為
一階非齊次線性方程(3.1)的通解為
3.5)
二、伯努利方程：形如
3.7)
的方程稱為伯努利方程，其中為常數，且.
伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當的變換，就可以把它化為線性的. 事實上，在方程(3.7)兩端除以，得
或於是，令，就得到關於變數的一階線性方程
.利用線性方程的求解方法求出通解後，再回代原變數，便可得到伯努利方程(3.7)的通解
例5（e03）求方程的通解.
解當將看作的函式時，方程變為
這個方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將看作的函式，方程改寫為
則為一階線性微分方程，於是對應齊次方程為
分離變數，並積分得即
其中為任意常數，利用常數變易法，設題設方程的通解為代入原方程,得
積分得故原方程的通解為，其中為任意常數.
例6（e04）在乙個石油精煉廠，乙個儲存罐裝8000l的汽油，其中包含100g的新增劑. 為冬季準備，每公升含2g新增劑的石油以40l/min的速度注入儲存罐. 充分混合的溶液以45l/min的速度幫浦出.
在混合過程開始後20分鐘罐中的新增劑有多少？
解令是在時刻罐中的新增劑的總量. 易知. 在時刻罐中的溶液的總量
因此，新增劑流出的速率為
新增劑流入的速率，得到微分方程
即於是，所求通解為
由確定c，得
故初值問題的解是
，所以注入開始後20分鐘時的新增劑總量是
g.注：液體溶液中（或散布在氣體中）的一種化學品流入裝有液體（或氣體）的容器中，容器中可能還裝有一定量的溶解了的該化學品.
把混合物攪拌均勻並以乙個已知的速率流出容器. 在這個過程中，知道在任何時刻容器中的該化學品的濃度往往是重要的. 描述這個過程的微分方程用下列公式表示：
容器中總量的變化率=化學品進入的速率—化學品離開的速率.
例10（e06） 求方程的通解.
解令則於是得到伯努利方程
令上式即變為一階線性方程
其通解為
回代原變數，即得到題設方程的通解
例11（e07）求解微分方程
解令則利用分離變數法解得
將代回，得所求通解為
二、型這種方程的特點是不顯含未知函式y，求解的方法是：
令則，原方程化為以為未知函式的一階微分方程，
設其通解為
然後再根據關係式又得到乙個一階微分方程
對它進行積分，即可得到原方程的通解
三、型這種方程的特點是不顯含自變數x. 解決的方法是：把暫時看作自變數，並作變換於是，由復合函式的求導法則有
這樣就將原方程就化為
這是乙個關於變數y、p的一階微分方程. 設它的通解為
這是可分離變數的方程，對其積分即得到原方程的通解
例7設有一均勻、柔軟的而無伸縮性的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂. 求繩索曲線在平衡狀態時的方程.
解設繩索的最低點為取軸通過點鉛直向上，並取軸水平向右，且等於某個定值(這個定值將在以後說明).，因而在點處的張力沿水平的切線方向，其大小設為在點處的張力沿該點處的切線方向，設其傾角為其大小為(如圖).因作用於弧段的外力相互平衡，把作用於弧段上的力沿鉛直及水平兩方向解得
兩式相除得
由於代入上式即得
將上式兩端對求導，便得滿足得微分方程
1)取原點到點的距離為定值即則初始條件為
對方程(1)，設則代入並分離變數得：
由得即將條件代入上式，得
於是該繩索的曲線方程為這曲線叫做懸鏈線.
型二、二階變係數線性微分方程的一些解法
對於變係數線性方程，要求其解一般是很困難的. 這裡我們介紹處理這類方程的兩種方法. 一種是利用變數替換使方程降階——降階法；另一種是在求出對應齊次方程的通解後，通過常數變易的方法來求得非齊次線性方程的通解——常數變易法.
對於二階齊次線性方程, 如果已知其乙個非零特解, 作變數替換, 就可將其降為一階齊次線性方程, 從而求得通解. 並有下列劉維爾公式
三、常數變易法
在求一階非齊次線性方程的通解時, 我們曾對其對應的齊次方程的通解, 利用常數變易法求得非齊次方程的通解. 這種方法也可用於二階非齊次線性方程的求解.
設有二階非齊次線性方程
5.10)
其中在某區間上連續, 如果其對應的齊次方程
的通解已經求得, 那麼也可通過如下的常數變易法求得非齊次方程的通解.
設非齊次方程(5.10)具有形如
5.11)
的特解, 其中是兩個待定函式, 將上式代入原方程從而確定出這兩個待定函式.
降階法例2（e01）已知是方程的乙個解, 試求方程的通解.
解作變換則有
代入題設方程，並注意到是題設方程的解,有
將代入，並整理,得
故所求通解為
常數變易法
例3（e02）求方程的通解.
解先求對應的齊次方程的通解.由
即 從而得到對應齊次方程的通解
為求非齊次方程的乙個解將換成待定函式設則根據常數變易法，滿足下列方程組
積分並取其乙個原函式得
於是，題設原方程得乙個特解為
從而題設方程的通解為
例4（e03）求方程的通解.
解因為易見題設方程對應的齊次方程的一特解為由劉維爾公式求出該方程的另一特解
從而對應齊次方程的通解為可設題設方程的乙個特解為
由常數變易法,滿足下列方程組
積分並取其乙個原函式得
於是，題設方程的通解為
內容要點
一、二階常係數齊次線性微分方程及其解法
6.1)
特徵方程6.2)
稱特徵方程的兩個根為特徵根.
這種根據二階常係數齊次線性方程的特徵方程的根直接確定其通解的方法稱為特徵方程法.
二、 n階常係數齊次線性微分方程的解法
階常係數齊次線性微分方程的一般形式為
6.6)
其特徵方程為
6.7)
根據特徵方程的根，可按下表方式直接寫出其對應的微分方程的解:
注: n次代數方程有n個根, 而特徵方程的每乙個根都對應著通解中的一項, 且每一項各含乙個任意常數. 這樣就得到階常係數齊次線性微分方程的通解為
例8（e05）求方程的通解.
解對應齊次方程的特徵方程的特徵根為故對應齊次方程的通解
作輔助方程
不是特徵方程的根，故設代入輔助方程得
取實部得到所求非齊次方程的乙個特解:
所求非齊次方程的通解為
例11 已知函式是二階常係數非齊次線性微分方程
的乙個特解, 試確定常數與及該方程的通解.
解將已知方程的特解改寫為
因對應齊次方程的解應是型的,如是對應齊次方程的解,也可能是，因原方程的自由項是而或是原非齊次方程的解,故也是對應齊次方程的解(即也是特徵方程的根).故原方程所對應的齊次方程的特徵方程為
即於是得將代入方程得
原方程的通解為
內容要點形如
微分方程與差分方程 詳解與例題
第七章常微分方程與差分方程 常微分方程是高等數學中理論性和應用性都較強的一部分，是描述客觀規律的一種重要方法，是處理物理 力學 幾何等應用問題的乙個重要工具，微分和積分的知識是研究微分方程的基礎。微分方程作為考試的重點內容，每年研究生考試均會考到。特別是微分方程的應用問題，既是重點，也是難點，在複習...
常微分方程發展簡史經典階段
第一講常微分方程發展簡史 經典階段 一 引言 newton 和lebinitz創立的微積分是不嚴格的,18世紀的數學家們一方面努力探索微積分嚴格化的途徑,一方面往往又不顧基礎問題的困難而大膽前進,大大地擴充套件了微積分的應用範圍,尤其是與力學的有機結合,當時幾乎所有的數學家也是力學家.newton和...
第七章聯立方程模型
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