第六講找簡單數列的規律
日常生活中，我們經常接觸到許多按一定順序排列的數，如：
自然數：1，2，3，4，5，6，7，… （1）
年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）
某年級各班的學生人數（按班級順序
一、二、三、四、五班排列）
45，45，44，46，45 （3）
像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數就叫做數列.數列中的每乙個數都叫做這個數列的項，其中第1個數稱為這個數列的第1項，第2個數稱為第2項，…，第n個數就稱為第n項.如數列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。
根據數列中項的個數分類，我們把項數有限的數列（即有有窮多個項的數列）稱為有窮數列，把項數無限的數列（即有無窮多個項的數列）稱為無窮數列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數列，（1）是無窮數列。
研究數列的目的是為了發現其中的內在規律性，以作為解決問題的依據，本講將從簡單數列出發，來找出數列的規律。
例1 觀察下面的數列，找出其中的規律，並根據規律，在括號中填上合適的數.
①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…
⑥1，3，4，7，11，18，（），47…
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.
分析與解答
①不難發現，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等於3.因此，括號中應填的數是14，即：11＋3=14。
② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應填11，即：13—2=11。
不妨把①與②聯絡起來繼續觀察，容易看出：數列①中，隨項數的增大，每一項的數值也相應增大，即數列①是遞增的；數列②中，隨項數的增大，每一項的值卻依次減小，即數列②是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數列卻有乙個共同的性質：
即相鄰兩項的差都是乙個定值.我們把類似①②這樣的數列，稱為等差數列.
③1，3，9，27，（），243。
此數列中，從相鄰兩項的差是看不出規律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.
因此，括號中應填 81，即 81= 27×3，代入後， 243也符合規律，即 243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2
與③類似，本題中，從第1項開始，每一項是其後面一項的2倍，即：
因此，括號中填4，代入後符合規律。
綜合③④考慮，數列③是遞增的數列，數列④是遞減的數列，但它們卻有乙個共同的特點：每列數中，相鄰兩項的商都相等.像③④這樣的數列，我們把它稱為等比數列。
⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34…
首先可以看出，這個數列既不是等差數列，也不是等比數列.現在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關係，可以發現，從第3項開始，每一項等於它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.
因此，括號中應填的數是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。
這個以1，1分別為第1、第2項，以後各項都等於其前兩項之和的無窮數列，就是數學上有名的斐波那契數列，它**於乙個有趣的問題：如果一對成熟的兔子乙個月能生一對小兔，小兔乙個月後就長成了大兔子，於是，下乙個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數目將按一定的規律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數目（以對為單位，一月記一次），就得到了乙個數列，這個數列就是數列⑤的原型，因此，數列⑤又稱為兔子數列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。
⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47…
在學習了數列⑤的前提下，數列⑥的規律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等於其前兩項的和.因此，括號中應填的是29，即 29=11＋18。
數列⑥不同於數列⑤的原因是：數列⑥的第2項為3，而數列⑤為1，數列⑥稱為魯卡斯數列。
⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。
方法1：繼續考察相鄰項之間的關係，可以發現：
因此，可以猜想，這個數列的規律為：每一項等於它的項數與其前一項的和，那麼，第5項為15，即15=10+5，最後一項即第 9項為 45，即 45＝36＋9.代入驗算，正確。
方法2：其實，這一列數有如下的規律：
第1項：1=1
第2項：3=1＋2
第3項：6=1+2+3
第4項：10=1+2+3+4
第5項：（ ）
第6項：21=1+2+3+4+5+6
第7項：28=1+2+3+4+5+6+7
第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8
第9項：（ ）
即這個數列的規律是：每一項都等於從1開始，以其項數為最大數的n個連續自然數的和.因此，
第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；
第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。
方法1：這個數列不同於上面的數列，相鄰項相加減後，看不出任何規律.考慮到等比數列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：
所以，這個數列的規律是：除第1項以外的每一項都等於其項數與其前一項的乘積.因此，括號中的數為第6項720，即 720=120×6。
方法2：受⑦的影響，可以考慮連續自然數，顯然：
第1項 1=1
第2項 2=1×2
第3項 6=1×2×3
第4項 24=1×2×3×4
第5項 120=1×2×3×4×5
第6項 （ ）
第7項 5040=1×2×3×4×5×6×7
所以，第6項應為 1×2×3×4×5×6=720
⑨1，1，3，7，13，（ ），31
與⑦類似：
可以猜想，數列⑨的規律是該項=前項+2×（項數-2）（第1項除外），那麼，括號中應填21，代入驗證，符合規律。
⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。
則：因此，括號中的數應填為63。
小結：尋找數列的規律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項與項數間的關係；②考慮相鄰項之間的關係.然後，再歸納總結出一般的規律。
事實上，數列⑦或數列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利於問題的解決.因此，仔細觀察，認真思考，選擇適當的方法，會使我們的學習更上一層樓。
在⑩題中，1=2-1
3=22-1
7=23-1
15=24-1
31=25-1
127=27-1
255=28-1
所以，括號中為26-1即63。
（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.
1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項都等於自身項數與項數的乘積，所以括號中的數是36。
本題各項只與項數有關，如果從相鄰項關係來考慮問題，勢必要走彎路。
(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。
仔細觀察，發現數列(12)的每一項加上1正好等於數列(11)，因此，本數列的規律是項=項數×項數-1.所以，括號中填35，即 35= 6×6-1。
(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。
前面的方法均不適用於這個數列，在觀察的過程中，可以發現，本數列中的某些數是很有規律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數列分為奇數項（即第1，3，5，7，9項）和偶數項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數列按奇數和偶數項重新分組排列如下：
奇數項：1，2，3，4，5
偶數項：2，4，8，16 可以看出，奇數項構成一等差數列，偶數項構成一等比數列.因此，括號中的數，即第10項應為32（32=16×2）。
(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。
同上考慮，把數列分為奇、偶項：
偶數項：2，4，6，8，10
奇數項：1，3，9，27，（ ）.所以，偶數項為等差數列，奇數項為等比數列，括號中應填81（81=27×3）。
像(13)(14)這樣的數列，每個數列中都含有兩個系列，這兩個系列的規律各不相同，類似這樣的數列，稱為雙系列數列或雙重數列。
例2 下面數列的每一項由3個數組成的陣列表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個陣列內3個數的和是多少？
方法1：注意觀察，發現這些陣列的第1個分量依次是：1，2，3…構成等差數列，所以第 100個陣列中的第 1個數為100；這些陣列的第2個分量 3，6，9…也構成等差數列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個陣列中的第2個數為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個陣列內三個數的和為100+300+500=900。
方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組裡的三個數而直接求和，考察各組的三個數之和。
第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18
第3組：3+ 9+ 15= 27…，由於9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…構成一等差數列，第100項為9×100=900，即第100個陣列內三個數的和為900。
例3 按下圖分割三角形，即：①把三角形等分為四個相同的小三角形（如圖（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分為四個更小的三角形（如圖（c））…繼續下去，將會得到一系列的圖，依次把這些圖中不重疊的三角形的個數記下來，成為乙個數列：1，4，13，40…請你繼續按分割的步驟，以便得到數列的前5項.
然後，仔細觀察數列，從中找出規律，並依照規律得出數列的第10項，即第9項分割後所得的圖中不重疊的小三角形的個數.
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