第九章四邊形
一、基礎知識點
（一）、四邊形的相關概念
1、四邊形
在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。
2、凸四邊形
把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。
3、對角線
在四邊形中，連線不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。
4、四邊形的不穩定性
三角形的三邊如果確定後，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩定性。但是四邊形的四邊確定後，它的形狀不能確定，這就是四邊形所具有的不穩定性，它在生產、生活方面有著廣泛的應用。
5、四邊形的內角和定理及外角和定理
四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等於360°。
四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等於360°。
推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等於180°；
多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等於360°。
6、多邊形的對角線條數的計算公式
設多邊形的邊數為n，則多邊形的對角線條數為。
(二)、平行四邊形
1、平行四邊形的概念
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形用符號「□abcd」表示，如平行四邊形abcd記作「□abcd」，讀作「平行四邊形abcd」。
2、平行四邊形的性質
（1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。
（2）平行四邊形的對邊平行且相等。
推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
（3）平行四邊形的對角線互相平分。
（4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，並且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。
3、平行四邊形的判定
（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
4、兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
5、平行四邊形的面積
s平行四邊形=底邊長×高=ah
(三)、矩形
1、矩形的概念
有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質
（1）具有平行四邊形的一切性質
（2）矩形的四個角都是直角
（3）矩形的對角線相等
（4）矩形是軸對稱圖形
3、矩形的判定
（1）定義：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形
（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形
（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形
4、矩形的面積
s矩形=長×寬=ab
(四)、菱形
1、菱形的概念
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質
（1）具有平行四邊形的一切性質
（2）菱形的四條邊相等
（3）菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
（4）菱形是軸對稱圖形
3、菱形的判定
（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
4、菱形的面積
s菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
(五)、正方形
1、正方形的概念
有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質
（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質
（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
（3）正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角
（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸
（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。
3、正方形的判定
（1）判定乙個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。
先證它是菱形，再證有乙個角是直角。
（2）判定乙個四邊形為正方形的一般順序如下：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形（或矩形）；
最後證明它是矩形（或菱形）
4、正方形的面積
設正方形邊長為a，對角線長為b
s正方形=
(六)、梯形
1、梯形的相關概念
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。
梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。
梯形的兩底的距離叫做梯形的高。
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分類如下：
一般梯形
梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。
（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。
3、等腰梯形的性質
（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。
（3）等腰梯形的對角線相等。
（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。
4、等腰梯形的判定
（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面積
（1）如圖，
（2）梯形中有關圖形的面積：
①；②；
③6、梯形中位線定理
梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半
二、典型例題
【例1】如圖，□abcd的對角線ac、bd相交於點o，則圖中全等三角形有（ ）
a．2對 b．3對 c．4對 d．5對
【分析】由平行四邊形的對邊平行、對角線互相平分，可得全等三角形有：△abd和△cde，△adc和△cba ，△aod 和△boc 、△aob 和△cod ．
【答案】c
【例2】如圖，o是菱形abcd的對角線ac、bd的交點，e、f分別是oa、oc的中點．下列結論：①s△ade=s△eod；②四邊形bfde也是菱形；③四邊形abcd的面積為ef×bd；④∠ade=∠edo；⑤△def是軸對稱圖形．其中正確的結論有（ ）
a.5個 b.4個 c.3個 d.2個
考點：菱形的判定與性質．
分析：①正確，根據三角形的面積公式可得到結論．
②根據已知條件利用菱形的判定定理可證得其正確．
③正確，根據菱形的面積等於對角線乘積的一半即可求得．
④不正確，根據已知可求得∠fdo=∠edo，而無法求得∠ade=∠edo．
⑤正確，由已知可證得△deo≌△dfo，從而可推出結論正確．
解答：解：①正確
∵e、f分別是oa、oc的中點．
∴ae=oe．
∵s△ade=×ae×od=×oe×od=s△eod
∴s△ade=s△eod．
②正確∵四邊形abcd是菱形，e，f分別是oa，oc的中點．
∴ef⊥od，oe=of．
∵od=od．
∴de=df．
同理：be=bf
∴四邊形bfde是菱形．
③正確∵菱形abcd的面積=ac×bd．
∵e、f分別是oa、oc的中點．
∴ef=ac．
∴菱形abcd的面積=ef×bd．
④不正確
由已知可求得∠fdo=∠edo，而無法求得∠ade=∠edo．
⑤正確∵ef⊥od，oe=of，od=od．
∴△deo≌△dfo．
∴△def是軸對稱圖形．
∴正確的結論有四個，分別是①②③⑤，故選b．
點評：此題主要考查學生對菱形的性質等知識的理解及運用能力．
【例3】如圖，□abcd中，∠b、∠c的平分線交於點o ，bo 和cd 的延長線交於e ，
求證：bo=oe ．
【分析】證線段相等，可證線段所在三角形全等．可證△coe ≌△cob ．已知oc 為公共邊， ∠oce=∠ocb，又易證∠e=∠ebc．問題得證．
【證明】在□abcd中，∵ab//cd，
∴ ，又∵ （角平分線定義）．
∴ ，又∵ ，
∴△ ≌△
∴ ．說明：證線段相等通常有兩種方法：（1）在同一三角形中證三角形等腰；（2）不在同一三角形則證兩三角形全等．本題也可根據等腰三角形「三線合一」性質證明結論．
【例4】如圖，在abcd中，ae⊥bc於e ，af⊥dc 於f ，∠adc=60°，be=2，cf=1，
求△dec 的面積．
【解】在中， ， 、 ．
在rt △abe 中， ， ．
∴ ， ．
∴ ．在 △ 中， ．
∴ ．故 ．【例5】已知：如圖，d 是等腰△abc 的底邊bc 上一點，de//ac ，df//ab ．
求證：de+df=ab．
【分析】由於 ， ，從而可以利用平行四邊形的定義和性質，等腰三角形的判定和性質來證．
【解】∵ ，
∴四邊形是平行四邊形．
∴ ．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．說明：證明一條線段等於另外兩條線段的和常採用的方法是：把三條線段中較長的線段分為兩段，證明這兩段分別等於另兩條線段．
【例6】如圖，已知： 中， 、 相交於點， 於 ， 於 ，求證： ．
【分析】
【解】因為四邊形是平行四邊形，
所以 ， ．
又因為 、 交於點，
所以 ．
又因為 ， ，
所以 ．
於是△ ≌△ ．
從而 ．
【例7】已知：如圖，ab//dc ，ac、bd交於o，且ac=bd。
求證：od=oc.
證明：過b作交dc延長線於e，則 。
∵ ， ，
∴∵ ， ∴
∴ ∴∴說明：本題條件中有「夾在兩條平行線之間的相等且相交的線段」，由於位置交錯而一時用不上，為此通過作平行線，由「夾在兩條平行線間的平行線段相等」將線段ac平移到be，得到等腰△bde，使問題得解．
【例8】如圖6，e、f分別是 abcd的ad、bc邊上的點，且ae = cf.
（1）求證：△abe≌△cdf；
（2）若m、n分別是be、df的中點，鏈結mf、en，試判斷四邊形mfne是怎樣的四邊形，並證明你的結論.
（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ab = cd，∠a =∠c.
∵ae = cf，∴△abe≌△cdf.
第九章四邊形性質探索知識點歸納
知識點1 四邊形的相關概念 在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形 四邊形用表示它的各頂點的字母來表示 注意 表示四邊形必須按頂點的順序書寫，可按照順時針或逆時針的順序 如圖讀作 四邊形 把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其它各邊都在延長線所得直線的同一旁，這樣的四邊...
第九章四邊形的性質與判定 1
班級姓名評價 1 如圖，在 abc中，ad是 abc的角平分線。de ac交ab於e，df ab交ac於f 四邊形aedf是菱形嗎？說明你的理由 2 如圖，把一張矩形的紙abcd沿對角線bd摺疊，使點c落在點e處，be與ad交於點f 求證 abf edf 若將摺疊的圖形恢復原狀，點f與bc邊上的點m...
第九章知識點總結
第一節美國 一 移 家 1 美國人口眾多，人種複雜，由 白種人 黃種人 黑種人 等不同人種組成。2 人種的融合 土著居民 印第安人 外來移民 亞洲的華人勞工 主要來自於我國廣東 福建一帶 非洲的黑人奴隸 歐洲的白人殖民者 拉丁美洲 加拿大等地區的移民 3 由於人種複雜和歷史原因，美國社會存在著嚴重的...