§3. 4 生活中的優化問題舉例
教學目標：
1.要細緻分析實際問題中各個量之間的關係，正確設定所求最大值或最小值的變數與自變數，把實際問題轉化為數學問題，即列出函式解析式，根據實際問題確定函式的定義域；
2.要熟練掌握應用導數法求函式最值的步驟，細心運算，正確合理地做答.
重點：求實際問題的最值時，一定要從問題的實際意義去考察，不符合實際意義的理論值應予捨去。
難點：在實際問題中，有常常僅解到乙個根，若能判斷函式的最大（小）值在的變化區間內部得到，則這個根處的函式值就是所求的最大（小）值。
教學方法：嘗試性教學
教學過程：
前置測評：
（1）求曲線y=x2+2在點p(1,3)處的切線方程.
（2）若曲線y=x3上某點切線的斜率為3，求此點的座標。
【情景引入】 生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題．通過前面的學習，我們知道，導數是求函式最大（小）值的有力工具．這一節，我們利用導數，解決一些生活中的優化問題
例1.汽油的使用效率何時最高
材料：隨著我國經濟高速發展，能源短缺的矛盾突現，建設節約性社會是眾望所歸。現實生活中，汽車作為代步工具，與我們的生活密切相關。
眾所周知，汽車的每小時耗油量與汽車的速度有一定的關係。如何使汽車的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千公尺路程的汽油耗油量最少）呢？
通過大量統計分析，得到汽油每小時的消耗量 g(l/h)與汽車行駛的平均速度v（km/h）之間的函式關係g=f(v) 如圖3.4-1，根據圖象中的資訊，試說出汽車的速度v 為多少時，汽油的使用效率最高？
解：因為g=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
這樣，問題就轉化為求g/v的最小值，從圖象上看，g/v
表示經過原點與曲線上點（v,g）的直線的斜率。繼續觀察影象，我們發現，當直線與曲線相切時，其斜率最小，在此點處速度約為90km/h，從樹枝上看，每千公尺的耗油量就是途中切線的斜率，即f』(90),約為0.67l.
例2.磁碟的最大儲存量問題
【背景知識】計算機把資料儲存在磁碟上。磁碟是帶有磁性介質的圓盤，並有作業系統將其格式化成磁軌和扇區。磁軌是指不同半徑所構成的同心軌道，扇區是指被同心角分割所成的扇形區域。
磁軌上的定長弧段可作為基本儲存單元，根據其磁化與否可分別記錄資料0或1，這個基本單元通常被稱為位元（bit）。
為了保障磁碟的解析度，磁軌之間的寬度必需大於，每位元所占用的磁軌長度不得小於。為了資料檢索便利，磁碟格式化時要求所有磁軌要具有相同的位元數。
問題：現有一張半徑為的磁碟，它的儲存區是半徑介於與之間的環形區域．
是不是越小，磁碟的儲存量越大？
為多少時，磁碟具有最大儲存量（最外面的磁軌不儲存任何資訊）？
解：由題意知：儲存量=磁軌數×每磁軌的位元數。
設儲存區的半徑介於與r之間，由於磁軌之間的寬度必需大於，且最外面的磁軌不儲存任何資訊，故磁軌數最多可達。由於每條磁軌上的位元數相同，為獲得最大儲存量，最內一條磁軌必須裝滿，即每條磁軌上的位元數可達。所以，磁碟總儲存量
× （1）它是乙個關於的二次函式，從函式解析式上可以判斷，不是越小，磁碟的儲存量越大．
（2）為求的最大值，計算．
令，解得
當時，；當時，．
因此時，磁碟具有最大儲存量。此時最大儲存量為
例3. 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響
（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？
（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？
【背景知識】 某製造商製造並**球型瓶裝的某種飲料．瓶子的製造成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘公尺。已知每**1 ml的飲料，製造商可獲利 0.2 分,且製造商能製作的瓶子的最大半徑為 6cm
問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？
（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？
【引導】 先建立目標函式，轉化為函式的最值問題，然後利用導數求最值.
（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．
（2）半徑為cm時，利潤最大．
【思考】根據以上三個例題，總結用導數求解優化問題的基本步驟.
【總結】（1）認真分析問題中各個變數之間的關係，正確設定最值變數與自變數，把實際問題轉化為數學問題，列出適當的函式關係式，並確定函式的定義區間；
（2）求，解方程，得出所有實數根；
（3）比較函式在各個根和端點處的函式值的大小，
根據問題的實際意義確定函式的最大值或最小值。
作業：p114習題3.4第2、4題
12生活中的優化問題舉例學案
學習目標 1 進一步理解導數的概念，會利用導數概念形成過程中的基本思想分析一些實際問題，並建立它們的導數模型 2 掌握用導數解決實際中簡單的最優化問題，構建函式模型，求函式的最值.學習重點難點 用導數解決實際中簡單的最優化問題，構建函式模型，求函式的最值 學習過程 解決實際應用問題關鍵在於建立數學模...
1 4生活中的優化問題舉例教學設計教案
一 知識與技能目標 1 體會導數在解決實際問題中的作用，能解決利潤最大 用料最省 效率最高等優化問題，2 形成求解優化問題的思路和方法。二 過程與方法 1 通過逐步形成用到導數知識分析問題和解決問題，進一步培養學生發散思維能力。2 提高將實際問題轉化為數學問題的能力。三 情感 態度 價值觀 培養學生...
導數證明不等式和生活中的優化問題
1.利用導數證明不等式 例題1 x 相減 例題2 sinx 相除 例題3 x sinx 練習1 設a 0，f x x 1 x 2a ln x x 0 令f x xf x 討論f x 在 0.內的單調性並求極值 求證 當x 1時，恒有x x 2a ln x 1.練習2 設函式f x 有兩個極值點,i ...