1.數列的各項均為正數，為其前項和，對於任意，總有成等差數列.
(ⅰ)求數列的通項公式；
(ⅱ)設數列的前項和為，且，求證:對任意實數（是常數，＝2.71828）和任意正整數，總有 2；
(ⅲ) 正數數列中，.求數列中的最大項.
（ⅰ）解：由已知：對於，總有①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴∵均為正數，∴ （n ≥ 2）
∴數列是公差為1的等差數列
又n=1時，， 解得=1
∴.()
（ⅱ）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.
∴(ⅲ)解：由已知
易得猜想 n≥2 時，是遞減數列. 令∵當
∴在內為單調遞減函式.
由.∴n≥2 時,是遞減數列.即是遞減數列.
又, ∴數列中的最大項為.
2．設f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈n*）.
(1) 求數列｛an｝的通項公式；
(2) 若，qn=（n∈n*），試比較9t2n與
qn的大小，並說明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=,
∴an+1==== -= -an.
∴數列｛an｝是首項為,公比為-的等比數列，∴an= ()n1.
（2）∵t2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n1+2na 2 n，
∴t2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n
= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.
兩式相減，得t2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n.
∴t2n =+n×(-)2n1=- (-)2n+ (-)2n1.
t2n =- (-)2n+ (-)2n1= (1-).
∴9t2n=1-.
又qn=1-，
當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9t2 n＜q n；
當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9t2 n＜qn；
當n≥3時，，
∴9t2 n＞q n.
3． 設不等式組所表示的平面區域為dn，記dn內的格點（格點即橫座標和縱座標均為整數的點）的個數為f(n)(n∈n*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表示式；
（2）設bn=2nf(n)，sn為的前n項和，求sn；
（3）記，若對於一切正整數n，總有tn≤m成立，求實數m的取值
範圍.（1）f(1)=3
f(2)=6
當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個
∴f(n)=3n
（2）由題意知:bn=3n·2n
sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n
∴2sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1
∴－sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1
=3（2+22+…+2n）－3n·2n+1
=3·=3(2n+1－2)－3nn+1
∴－sn=(3－3n)2n+1－6
sn=6+(3n－3)2n+1
（3）∴t1t4>…>tn
故tn的最大值是t2=t3=
∴m≥。
4．已知，且，數列的前項和為，它滿足條件.數列中，·.
（1）求數列的前項和；
（2）若對一切都有，求的取值範圍.
解：（1），∴
當時，.
當≥2時， =，∴
此時··=·，
∴……=……+
設……+，
∴……，
∴∴· ……6分
（2）由可得
①當時，由，可得
∴對一切都成立，
∴此時的解為.
②當時，由可得
≥∴對一切都成立，
∴此時的解為.
由①，②可知
對一切，都有的的取值範圍是或. ……14分
5、已知函式（）。
（ⅰ）若且，則稱為的實不動點，求的實不動點；
（）在數列中，，（），求數列的通項公式。
解：（ⅰ）由及得
或（捨去），
所以或，即的實不動點為或；
（）由條件得，從而有
，由此及知：數列是首項為，公比為的等比數列，故有
（）。6、已知函式，點，是函式影象上的兩個點，且線段的中點的橫座標為．
⑴求證：點的縱座標是定值；
⑵若數列的通項公式為，求數列的前m項的和；
⑶若時，不等式恆成立，求實數的取值範圍．
解：⑴由題可知：，所以，
點的縱座標是定值，問題得證．
⑵由⑴可知：對任意自然數，恆成立．
由於，故可考慮利用倒寫求和的方法．即由於：
所以， 所以，
⑵∵， ∴
∴等價於
依題意，①式應對任意恆成立．
顯然，因為（），所以，需且只需對任意恆成立．即：對恆成立．
記（）．∵，
∴（）的最大值為，∴．
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