1.如圖，已知正四稜柱abcd—a1b1c1d1的底面邊長為3，側稜長為4，鏈結a1b，過a作af⊥a1b垂足為f，且af的延長線交b1b於e。
（ⅰ）求證：d1b⊥平面aec；
（ⅱ）求三稜錐b—aec的體積；
（ⅲ）求二面角b—ae—c的大小.
證（ⅰ）∵abcd—a1b1c1d1是正四稜柱，
∴d1d⊥abcd.
連ac，又底面abcd是正方形，
∴ac⊥bd，
由三垂線定理知 d1b⊥ac.
同理，d1b⊥ae，ae∩ac = a，
∴d1b⊥平面aec
解（ⅱ）vb－aec = ve－abc .
eb⊥平面abc，
∴eb的長為e點到平面abc的距離.
∵rt△abe ~ rt△a1ab，
∴eb =
∴vb－aec = ve－abc =s△abc·eb
3×3×
10分）
解（ⅲ）連cf，
cb⊥平面a1b1ba，又bf⊥ae，
由三垂線定理知，cf⊥ae .
於是，∠bfc為二面角b—ae—c的平面角，
在rt△abe中，bf =，
在rt△cbf中，tg∠bfc =，
∴∠bfc = arctg.
即二面角b—ae—c的大小為arctg.
2．如圖，正三稜柱abc—a1b1c1的底面邊長為1，點
m在bc上，△amc1是以m為直角頂點的等腰直角三角形.
（i）求證：點m為bc的中點；
（ⅱ）求點b到平面amc1的距離；
（ⅲ）求二面角m—ac1—b的正切值.
答案：（i）證明：∵△amc1是以點m為直角
頂點的等腰直角三角形，
∴am⊥mc1且am=mc1
∵在正三稜柱abc—a1b1c1中，
有cc1⊥底面abc.
∴c1m在底面內的射影為cm，
由三垂線逆定理，得am⊥cm.
∵底面abc是邊長為1的正三角形，
∴點m為bc中點.
（ii）解法（一）
過點b作bh⊥c1m交其延長線於h.
由（i）知am⊥c1m，am⊥cb，
∴am⊥平面c1cbb1.
∴am⊥bh. ∴bh⊥平面amc1.
∴bh為點b到平面amc1的距離.
∵△bhm∽△c1cm.
am=c1m= 在rt△cc1m中，可求出cc1
解法（二）
設點b到平面amc1的距離為h.
則由（i）知 am⊥c1m，am⊥cb，
∴am⊥平面c1cbb1
∵ab=1，bm=
（iii）過點b作bi⊥ac1於i，鏈結hi.
∵bh⊥平面c1am，hi為bi在平面c1am內的射影.
∴hi⊥ac1，∠bih為二面角m—ac1—b的平面角.
在rt△bhm中，
∵△amc1為等腰直角三角形，∠ac1m=45°.
∴△c1ih也是等腰直角三角形.
由c1m=
∴3．如圖，已知多面體abcde中，ab⊥平面acd，de⊥平面acd，三角形acd是正三角形，且ad=de=2，ab=1，f是cd的中點．
（ⅰ）求證：af∥平面bce；
（ⅱ）求多面體abcde的體積；
（ⅲ）求二面角c-be-d 的正切值．
證：（ⅰ）取ce中點m，鏈結fm，bm，則有．
∴四邊形afmb是平行四邊形．
∴af//bm，
∵平面bce，
平面bce，
∴af//平面bce．
（ⅱ）由於de⊥平面acd，
則de⊥af．
又△acd是等邊三角形，則af⊥cd．而cd∩de=d，因此af⊥平面cde．
又bm//af，則bm⊥平面cde．
． （ⅲ）設g為ad中點，鏈結cg，則cg⊥ad．
由de⊥平面acd，平面acd，
則de⊥cg，又ad∩de=d，
∴cg⊥平面adeb．
作gh⊥be於h，鏈結ch，則ch⊥be．
∴∠chg為二面角c-be-d的平面角．
由已知ab=1，de=ad=2，則，
∴．不難算出．
∴，∴．
∴．4．已知：abcd是矩形，設pa=a，pa⊥平面分別是ab、pc的中點.
（ⅰ）求證：mn⊥ab；
（ⅱ）若pd=ab，且平面mnd⊥平面pcd，求二面角p—cd—a的大小；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，求三稜錐d—amn的體積.
（ⅰ）鏈結ac，an. 由bc⊥ab，ab是pb在
底面abcd上的射影. 則有bc⊥pb.
又bn是rt△pbc斜邊pc的中線，
即.由pa⊥底面abcd，有pa⊥ac，
則an是rt△pac斜邊pc的中線，
即 又∵m是ab的中點，
（也可由三垂線定理證明）
（ⅱ）由pa⊥平面abcd，ad⊥dc，有pd⊥dc.
則∠pda為平面pcd與平面abcd所成二面角的平面角
由pa=a，設ad=bc=b，cd=ab=c， 又由ab=pd=dc，n是pc中點，
則有dn⊥pc
又∵平面mnd⊥平面pcd於nd， ∴pc⊥平面mnd ∴pc⊥mn，
而n是pc中點，則必有pm=mc.
此時.即二面角p—cd—a的大小為
（ⅲ），鏈結bd交ac於o，鏈結no，則no pa. 且no⊥平面amd，由pa=a
. 5．如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，p、m、n
分別為稜dd1、ab、bc的中點。
（i）求二面角b1—mn—b的正切值；
（ii）證明：pb⊥平面mnb1；
解：（i）連線bd交mn於f，則bf⊥mn，
連線b1f
∵b1b⊥平面abcd
∴b1f⊥mn 2分
則∠b1fb為二面角b1—mn—b的平面角
在rt△b1fb中，設b1b=1，則
∴ 4分
（ii）過點p作pe⊥aa1，則pe∥da，連線be
又da⊥平面abb1a1，∴pe⊥平面abb1a1
又be⊥b1m ∴pb⊥mb1
又mn∥ac，bd⊥ac，∴bd⊥mn
又pd⊥平面abcd
∴pb⊥mn，所以pb⊥平面mnb1 11分
6．如圖，四稜錐p—abcd的底面是正方形,pa⊥底面abcd，pa=ad=2，點m、n分別在稜pd、pc上，且pc⊥平面amn.
（ⅰ）求證：am⊥pd；
（ⅱ）求二面角p—am—n的大小；
（ⅲ）求直線cd與平面amn所成角的大小.
（i）證明：∵abcd是正方形，∴cd⊥ad，
∵pa⊥底面abcd，∴pa⊥cd.
∴cd⊥平面pad
∵am平面pad，∴cd⊥am.
∵pc⊥平面amn，∴pc⊥am.
∴am⊥平面pcd.
∴am⊥pd
（ii）解：∵am⊥平面pcd（已證）.
∴am⊥pm，am⊥nm.
∴∠pmn為二面角p-am-n的平面角
∵pn⊥平面amn，∴pn⊥nm.
在直角△pcd中，cd=2，pd=2，∴pc=2.
∵pa=ad，am⊥pd，∴m為pd的中點，
pm=pd=
由rt△pmn∽rt△pcd，得 ∴.
即二面角p—am—n的大小為.
（iii）解：延長nm，cd交於點e.
∵pc⊥平面amn，∴ne為ce在平面amn內的射影
∴∠cen為cd（即（ce）與平在amn所成的角
∵cd⊥pd，en⊥pn，∴∠cen=∠mpn.
在rt△pmn中，
∴cd與平面amn所成的角的大小為
7．如圖，在直三稜柱abc—a1b1c1中，∠acb=90°. bc=cc1=a，ac=2a.
（i）求證：ab1⊥bc1；
（ii）求二面角b—ab1—c的大小；
（iii）求點a1到平面ab1c的距離.
（1）證明：∵abc—a1b1c1是直三稜柱，
∴cc1⊥平面abc， ∴ac⊥cc1.
∵ac⊥bc， ∴ac⊥平面b1bcc1.
∴b1c是ab1在平面b1bcc1上的射影.
∵bc=cc1， ∴四邊形b1bcc1是正方形，
∴bc1⊥b1c. 根據三垂線定理得，
ab1⊥bc1
（2）解：設bc1∩b1c=o，作op⊥ab1於點p，
鏈結bp.∵bo⊥ac，且bo⊥b1 c，
∴bo⊥平面ab1c.
∴op是bp在平面ab1c上的射影.
根據三垂線定理得，ab1⊥bp.
∴∠opb是二面角b—ab1—c的平面角
∵△opb1~△acb1， ∴ ∴
在rt△pob中，，
∴二面角b—ab1—c的大小為
（3）解：[解法1] ∵a1c1//ac，a1c1平
面ab1c，∴a1c1//平面ab1c. ∴點a1到
平面ab1c的距離與點c1到平面ab1c.的
距離相等.∵bc1⊥平面ab1c，
∴線段c1o的長度為點a1到平面ab1c的
距離.∴點a1到平面ab1c的距離為
[解法2]鏈結a1c，有，設點a1到平面ab1c的距離為h.
∵b1c1⊥平面acc1a1， ∴，
又，∴ ∴點a1到平面ab1c的距離為
8．在長方體abcd－a1b1c1d1中，已知ab=bc=2，bb1=3，連線bc1，過b1作b1e⊥bc1交cc1於點e
(ⅰ)求證：ac1⊥平面b1d1e；
(ⅱ)求三稜錐c1－b1d1e1的體積；
(ⅲ)求二面角e－b1d1－c1的平面角大小
(1)證明：連線a1c1交b1d1於點o
∵abcd－a1b1c1d1是長方體
∴aa1⊥平面a1b1c1d1，a1c1是ac1在平面a1b1c1d1上的射影
∵ab=bc，∴a1c1⊥b1d1，
根據三垂線定理得：ac1⊥b1d1；
∵ab⊥平面bcc1b1，且bc1⊥b1e，
∴ac1⊥b1e
∵b1d1∩b1e=b1，
∴ac1⊥平面b1d1e1
(2)解：在rt△bb1c1中，
在rt△ec1b1中，c1e=b1c1·tg∠c1b1e=b1c1·ctg∠bc1b1=2，
∴vc1－b1d1e = vd1－b1c1e =
(3)解：連線oe，∵△b1c1e1 ≌△d1c1e1 ， ∴b1e=d1e
∵o是b1d1中點， ∴b1d1⊥oe，
∴∠c1oe是二面角e―b1d1―c1的平面角
在rt△oc1e中，∵
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