第一節基本概念
一、基本知識
1．微分方程的概念
（1）微分方程：含有未知函式的導數（或微分）的方程稱為微分方程．未知函式為一元函式的叫常微分方程；未知函式為多元函式的叫偏微分方程．
（2）微分方程的階：方程中未知函式導數的最高端數叫該微分方程的階，同時該方程就叫做階微分方程．
（3）微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函式稱為它的解．
（4）微分方程的通解：含有個獨立的任意常數的解叫階常微分方程的通解．（根據可分離變數方法或者線性微分方程公式求得的解稱為通解）注意：通解中任意常數的個數與方程的階數一致．
（5）微分方程的特解：根據初始條件，確定通解中任意常數的取值，叫微分方程的特解．
（6）線性微分方程：若乙個微分方程關於未知函式及各階未知函式的導數是線性的，稱之為線性微分方程．
（7）將滿足初始時刻條件的解叫初值問題的解，一般階常微分方程的初值問題為：
7．1）
7．2）
(7．2)稱為初始條件，其中為個常數．
二、例題分析
例8．1 設方程，驗證為它的通解．
解因．故 ．
例8．2 指出下列常微分方程哪個是線性的，哪個是非線性的，並指出為幾階微分方程．
（12）；
（34）．
解 （1）為線性常微分方程，是階微分方程．
（2）為階非線性微分方程．
（3）為階非線性微分方程．
（4）為階線性微分方程．
三、練習題
1．指出下列微分方程的階數：
（12）；
（34）．
2．指出練習題1中那些方程是線性微分方程．
第二節一階微分方程
一、基本知識
1．可分離變數的微分方程（直接---分離變數）
7．3）
分離變數可化為
兩邊積分得(7．3)的通解為
另外還有解： （）．
2．齊次方程——可化為分離變數的方程 （換元---分離變數）
7．4）
令或，，方程(7．4)就化為
兩邊積分得通解，積完後再將代人得原方程(7．4)的通解．
3．形如
的方程7．5）
令得 ，（7．5）可化為
分離變數可得
兩邊積分得通解為
．4．一階線性微分方程
非齊次7．6）
它的通解為
齊次7．7）
它的通解為
二、例題分析
例8．3 求解下列微分方程的通解：
（12）；
（34）．
解 （1）分離變數可得
兩邊積分得通解為
為任意非零常數
即通解為 ．
（2）分離變數可得
即得通解為
或為（3）令，則原方程可化為
分離變數
兩邊積分得通解為
即原方程的通解為
（4）兩邊同除，可得
令或代入原方程可得
分離變數可得
兩邊積分得
即原方程的通解為（代人）
例8．4 求下列微分方程的解（通解或特解）
（12）；
（3），．
解 （1）通解為
（2）通解為
．（3）原方程可化為
通解為．代人可得 ，解得，故原方程的特解為
．三、練習題
解下列微分方程
12．；
3．； 4．；
56．；
78．；
910．；
11．．
第三節（數一）二階常係數線性微分方程
一、基本知識
1．二階常係數線性微分方程的解的結構
形如為常數7．7)
稱為二階常係數非齊次線性微分方程．
形如7．8)
稱為二階常係數齊次線性微分方程，同時(7．8)也稱為(7．7)所對應的齊次線性微分方程．
解的結構定理若和是(7．8)的兩個線性無關的解（即恆不等於常數），則(7．8)的通解為;若為(7．7)的乙個特解，而為(7．8)的通解，則(7．7)的通解為
非齊次方程的通解：齊次解+特解）
2．齊次線性微分方程(7．8)的通解
特徵方程為 ，它的兩個特徵根為．
（1）若為兩實根，則(7．8)的通解為
（2）若為兩實重根，則(7．8)的通解為
（3）若為兩個復根，則(7，8)的通解為
3．非齊次方程(7．7)的特解的求法（待定係數法）
(1)若，其中為次多項式．
則特解有形式
其中為為特徵根時的重數，即若不是特徵根（零重根），取為特徵單根，取；為特徵重根（二重根），取．為乙個次多項式．
（2）若，則方程(7．7)有特解形式
．其中為是特徵根的重數，即若不是特徵根，取；若是特徵根，取．
二、例題分析
例8．5 求下列方程的通解
（12）；
（34）．
解 （1）特徵方程為，解得特徵根為．所以通解為
（2）特徵方程為，解得特徵根為，所以通解為
（3）特徵方程為，解得特徵根為，所以通解為
（4）特徵方程為，特徵根為，所以通解為
．例8．6 寫出下列方程的特解形式
（12）；
（34）．
解（1）因為特徵根為不是特徵根，取．所以特解形式為
（2）因為特徵根為為單特徵根，取．所以特解形式為
（3）因為特徵根為是單特徵根，取．特解形式為
（4）因為特徵根為為二重特徵根，取．特解形式為
例8．7 求的通解．
解 （1）先求齊次方程的通解
特徵方程為，特徵根為．所以齊方程的通解為
（2）再求非齊次方程的特解
因是單特徵根，取．所以
因為代人原方程可得
比較：的係數可得：， 即 ．
的係數可得：， 即 ．
的係數恒等．
所以得特解
所以原方程的通解為
．例8．8 求的通解．
(1)先求齊次方程的通解
特徵方程為，特徵根為，所以齊次方程的通解為
(2)求非齊次方程的特解
因為不是特徵根，所以特解形式為
代人原方程可得
比較的係數可得
解得 ．
所以得特解
因此原方程的通解為
．三、練習題
求解下列微分方程
12．;
34．；
56．；
78．；
910．；
1112．；
13．；
1415．；
16．．
第八章習題答案
1 1．（1）一階； （2）、（3）二階；（4）10階． 2．（1）、（3）、（4）均為線性微分方程
2 12．；
常微分方程
一 單項選擇題 1.下列四個微分方程中,三階常微分方程有 個 12 34 a.1b.2c.3d.4 a.n階常係數非齊線性常微分方程 b.n階變係數非齊線性常微分方程 c.n階變係數非線性常微分方程d.n階常係數非線性常微分方程.3.微分方程的乙個解是 abcd.4.是某個初值問題的唯一解，其中方程...
常微分方程小結
組員 黎英 2010104417 韋旭 2010104408 陸華豪 2010104505 常微分 常微分方程 只含乙個自變數的微分方程.方程1.11 1.12 1.13 是常微分方程的例子，是未知函式，僅含乙個自變數.微分方程的階數 微分方程中出現的最高端導數的階數.例如，方程 1.12 1.13...
常微分方程試卷
誠信應考,考試作弊將帶來嚴重後果！常微分方程 試卷 b 注意事項 1.考前請將密封線內填寫清楚 2.所有答案請直接答在試卷上 或答題紙上 3 考試形式 閉卷 4.本試卷共六大題，滿分100分，考試時間120分鐘。一.填空題 每小題3分,共24分 1.微分方程的階數為 2.微分方程有積分因子 3.微分...