包括基本概念，差分格式的構造、截斷誤差和穩定性，這些內容是貫穿整個教材的主線。解答問題關鍵在過程，能夠顯示出你已經掌握了書上的內容，知道了解題方法。這次考試題目的型別：
20分的選擇題，主要是基本概念的理解，後面有五個大題，包括差分格式的構造、截斷誤差和穩定性。
習題一1． 略
2． ，梯形公式：，所以，當時，。
同理可以證明預報-校正法收斂到微分方程的解.
3． 區域性截斷誤差的推導同尤拉公式;
整體截斷誤差:
這裡而，所以 ，不妨設/2，得到：
4． 中點公式的區域性截斷誤差：
所以上式為
中點公式的整體截斷誤差：
因而，5． 略
6． 略
7． 略
8． （1）尤拉法：；四階runge-kutta方法：
（2）尤拉法：；四階runge-kutta方法：
（3）尤拉法：；四階runge-kutta方法：
9． 略
10． 略
習題21． 略
2． 略
3． 略
4． 差分格式寫成矩陣形式為：
矩陣的特徵值為：，要使格式穩定，則特徵值須滿足，即
5． 利用泰勒展式可以得到古典隱式差分格式的截斷誤差為。
古典隱式差分格式寫成矩陣形式為：
特徵值為：，即：
，所以無條件穩定。
6． 由von-neumann方法，令，代入差分格式得到增長因子為：，所以，恆不穩定。
7． ，則原三層格式等價於：
，令，可以得到格式的增長矩陣為：
特徵值為＝，當 1+2〈0時，格式恆不穩定。當時，格式無條件穩定。
8． 令，則可以得到差分格式的增長矩陣為：
，特徵值為：，，所以，格式無條件穩定。
9. （1）由von-neumann方法，，可以得到格式的穩定條件為：；
（2），無條件穩定。
10. 解：消去便可得到與的關係為
= 由von-meuman方法可以得到增長因子
=顯然無條件穩定
習題31. （1） 第乙個差分方程的截斷誤差為
（2） 第二個差分方程的截斷誤差為
2. 邊界條件離散為
= =
==2ln， =
然後將未知點按自然順序排列
=可以寫出求解的線性代數方程組
用直接方法或迭代方法可求解.
3. 求解的關鍵是 （1）邊界條件的離散應與差分方程相適應;
2）在邊界的四個角點處差分方程的建立;
3）未知量按自然順序排列，寫出線性方程組
4. 解：（1）將節點以自動順序排列
u=其中
則dirichlet問題的差分格式可以寫成方程組
au=b
其中a，b即為題中已給形式，b為由邊界條件離散化後已確定的已知向量
（2）考慮au=
即因b為對稱陣，故存在正交陣q使
用左乘以上各式
記=則選取以上方程組中的每乙個小方程組的第j 個方程得到
j=1，2…..p-1
這是一齊次三對角線性方程組，若要使其有非零解，則係數行列式值為零，
即=0根據三對角陣特徵值公式有
=1，2…q-1
而於是證得
=1，2…q-1 m=1，2….p-1
事實上由此也可以求出a的特徵向量,而au=b的求解與此類似;
（3）求解au=b的jacobi迭代
因a=d-l-r
所以設x為a的對應於的特徵向量，於是
gx=這說明x也是g的特徵向量，對應的特徵值為
1，2…..p-1 m=1，2…….q-1
因在上，為減函式，於是
習題411． 特徵線為：，求解得到曲線為：，過點的特徵線為：。沿特徵線，原方程變為常微分方程：，帶入，得到：，在點(3，19)的值為6.5。
12． 此問題給出的初始條件比較特殊，為兩條直線，因此有兩條完全不同的特徵線，從而得到沿兩條不同特徵線的解。特徵線方程為：，特徵關係為，即，對於一條初始曲線，在其上任取一點，，解在此點滿足初始條件，得到，過此點的特徵線為：
；對於另一條初始曲線，在其上任取一點，，解在此點滿足初始條件，得到，過此點的特徵線為：。過點的值為，過點的值為。過此兩點的特徵線分別為和。
若上的初始條件改為，則特徵線為，特徵方程為，過點的特徵線為，解為，故及在點的準確值分別為，。
13． 略
14． 原方程化為，可以求出的特徵值為：，，對應的左特徵向量為：，，因此可以得到方程的正規形式並求解
15． (1) 由von neumann方法，可以得到增長因子為：
所以，格式無條件穩定。
(2) 利用格式的泰勒展式近似可以得到。
16． (1) 由von neumann方法，令，可以得到增長矩陣為：
，特徵值為：，所以
，得到當時，格式穩定，又為正規矩陣，即，所以穩定性條件為充要條件。
(2) 同教材193頁格式(4.81)的討論。
17． 特徵值為：，對應的左特徵向量為：，，則可以相應地寫出原方程的正規形式。
18． 略
19． 令，，則原方程等價於
，方程組的正規形式：
由，可以得到過點的特徵線為，沿此特徵線方程（1）變為
，即，過點的解為， 特徵線方程為：，過點的特徵線為：，沿特徵線方程變為：，解此方程得到，又，所以解為：。
10． 由von neumann方法可以得到。
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