高三年級下冊數學科導學案
學生：黃榮俊
教學目標：
1．熟練掌握正弦定理、餘弦定理的內容及變形公式。
2．熟練掌握幾類三角形的解法，能對已知a ,b,a 型的解三角形問題作出解的個數的討論。
3．能解決一些簡單的三角形度量問題。
教學重點：靈活解決三角形問題。
解三角形的必備知識和典型例題及詳解
一、知識必備：
1．直角三角形中各元素間的關係：
在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；
（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。
2．斜三角形中各元素間的關係：
在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。
（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等
（r為外接圓半徑）
（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
a2＝b2＋c2－2bccosa； b2＝c2＋a2－2cacosb； c2＝a2＋b2－2abcosc。
3．三角形的面積公式：
（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
（2）＝absinc＝bcsina＝acsinb；
4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這裡所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．主要型別：
（1）兩類正弦定理解三角形的問題：
第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.
（2）兩類餘弦定理解三角形的問題：
第1、已知三邊求三角.
第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.
5．三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。
（1）角的變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。
；（2）判定三角形形狀時，可利用正餘弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式.
6．求解三角形應用題的一般步驟：
（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；
（2）建模：將實際問題轉化為數學問題，寫出已知與所求，並畫出示意圖；
（3）求解：正確運用正、餘弦定理求解；
（4）檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。
二、典例解析
題型1：正、餘弦定理
例1．（1）在中，已知，， cm，解三角形；
（2）在中，已知cm， cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。
點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對於解三角形中的複雜運算可使用計算器
題型2：三角形面積
例2．在中，，，，求的值和的面積。
以下解法略去。
點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？
題型3：三角形中的三角恒等變換問題
例3．在△abc中，a、b、c分別是∠a、∠b、∠c的對邊長，已知a、b、c成等比數列，且a2－c2=ac－bc，求∠a的大小及的值。
分析：因給出的是a、b、c之間的等量關係，要求∠a，需找∠a與三邊的關係，故可用餘弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。
評述：解三角形時，找三邊一角之間的關係常用餘弦定理，找兩邊兩角之間的關係常用正弦定理。
題型4：正、餘弦定理判斷三角形形狀
例4．在△abc中，若2cosbsina＝sinc，則△abc的形狀一定是（ ）
a.等腰直角三角形b.直角三角形
c.等腰三角形d.等邊三角形
點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑
題型5：三角形中求值問題
例5．的三個內角為，求當a為何值時，取得最大值，並求出這個最大值。
點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關於乙個角的三角函式的形式，通過三角函式的性質求得結果。
題型6：正餘弦定理的實際應用
例6．（2009遼寧卷文，理）如圖，a,b,c,d都在同乙個與水平面垂直的平面內，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船於水面a處測得b點和d點的仰角分別為，，於水面c處測得b點和d點的仰角均為，ac=0.1km。
試**圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，然後求b，d的距離（計算結果精確到0.01km，1.414，2.
449）
點評：解三角形等內容提到高中來學習，又近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數量關係即可過關。
三、思維總結
1．解斜三角形的常規思維方法是：
（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = π求c，由正弦定理求a、b；
（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用餘弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然後利用a+b+c = π，求另一角；
（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應用正弦定理求b，由a+b+c = π求c，再由正弦定理或餘弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；
（4）已知三邊a、b、c，應餘弦定理求a、b，再由a+b+c = π，求角c。
2．三角學中的射影定理：在△abc 中，，…
3．兩內角與其正弦值：在△abc 中，，…
4．解三角形問題可能出現一解、兩解或無解的情況，這時應結合「三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解」。
易錯點例題
例題1.若△的三個內角滿足
，則（a）一定是銳角三角形b）一定是直角三角形.
（c）一定是鈍角三角形d)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.
例題2.在△abc中，內角a,b,c的對邊分別是a,b,c，若，，則a=( )
（a） （b） （c） （d）
【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、餘弦定理將邊化為角運算或將角化為邊運算。
例題3..（2010湖北理數）3.在中，a=15,b=10,a=60°，則=
a － b c － d
考點例題。
例題1.（2010廣東理數）11.已知a,b,c分別是△abc的三個內角a,b,c所對的邊，若a=1,b=, a+c=2b,求sinc
例題2.（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等於的取值範圍為
例題3.（2009全國卷ⅰ理）在中，內角a、b、c的對邊長分別為、、，已知，且求b
分析：:此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用餘弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.
例題4．在△abc中，已知a、b、c成等差數列，求的值。
點評：在三角函式求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。
例題5.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且
（i）求的值；（ii）若，求的值。
課堂檢測 （時間 20 分鐘，等級 ）
1. 在△abc中，已知b=45°,d是bc邊上的一點，
ad=10,ac=14,dc=6，求ab的長.
2.（2010遼寧文數17）（本小題滿分12分）
在中，分別為內角的對邊，
且（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若，試判斷的形狀.
課後鞏固
1.在△abc中，a, b, c分別為內角a, b, c的對邊，且
（ⅰ）求a的大小；
（ⅱ）求的最大值.
資訊反饋：
學生今日表現
老師寄語
本週最有意義的一件事
家長意見
家長簽字
全等三角形導學案
11 1 全等三角形導學案 班別姓名 學習目標 1 知道全等形及全等三角形的概念。2 能夠準確辯認全等三角形的對應元素。3 記住全等三角形的性質並會運用全等三角形的性質。學習重點 全等三角形的性質 學習難點 找全等三角形的對應邊 對應角 導學過程 一 提出問題，創設情境 觀察下列圖案，指出這些圖案中...
《三角形》複習導學案
蘭學習目標 知識與技能 1 熟練掌握三角形三邊關係 三角形內角和定理及其推論，多邊形內角和與外角和定理，並會靈活運用。2 正確理解三角形的中線 角平分線 高的概念，並會熟練運用它們進行解題。過程與方法 學生經歷分析推理與證明的過程，培養學生的邏輯思維能力和發散思維能力。情感態度與價值觀 通過小組合作...
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人教版數學八年級上冊 11.1 全等三角形 導學案 四方臺一中 劉開鋒 使用說明與學法指導 1 課前完成預習部分，牢記基礎知識，掌握基本題型，時間不超過15分鐘。2 認真限時完成，字跡工整 書寫規範。3 小組長在課上合作 環節要在組內起引領示範作用，控制討論節奏。4 帶 的題要多動腦筋，展示你的能力...