第一部分:三角恒等變換
1.兩角和與差正弦、余弦、正切公式:
注意正用、逆用、變形用。例如:tana+tanb=tan(a+b)(1tanatanb)
2.二倍角公式:sin2=,cos2===
2=。3.公升冪公式是: 。
4.降冪公式是: 。
5.萬能公式:sin= cos= tan=
6.三角函式恒等變形的基本策略:(1)常值代換:特別是用「1」的代換,如1=cos2θ+sin2θ
(2)項的分拆與角的配湊。如分拆項:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配湊角等。
(3)降次與公升次。,,sin α ,cos α可湊倍角公式;等. (4)化弦(切)法。將三角函式利用同角三角函式基本關係化成弦(切)。
注意函式關係,盡量異名化同名、異角化同角。(5)引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),所在象限由a、b的符號確定,角的值由tan=確定。
7.注意點:三角函式式化簡的目標:項數盡可能少,三角函式名稱盡可能少,角盡可能小和少,次數盡可能低,分母盡可能不含三角式,盡可能不帶根號,能求出值的求出值.
第二部分:解三角形
1.邊角關係的轉化:(ⅰ)正弦定理:===2r(r為外接圓的半徑);
注:(1)a=2rsina;b=2rsinb;c=2rsinc;(2)a:b:
c=sina:sinb:sinc;(3) 三角形面積公式s=absinc=bcsina=acsinb;(ⅱ)餘弦定理:
a=b+c-2bc,
2.應用:(1)判斷三角形解的個數;(2)判斷三角形的形狀;(3)求三角形中的邊或角;(4)求三角形面積s;
注:三角形中 ①a>ba>bsina>sinb;②內角和為;③兩邊之和大於第三邊;④在△abc 中有,, 在解三角形中的應用。3.
解斜三角形的常規思維方法是:(1)已知兩角和一邊(如a、b、c),由a+b+c = π求c,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和夾角(如a、b、c),應用餘弦定理求c邊;再應用正弦定理先求較短邊所對的角,然後利用a+b+c = π,求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角(如a、b、a),應用正弦定理求b,由a+b+c = π求c,再由正弦定理或餘弦定理求c邊,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c,應用餘弦定理求a、b,再由a+b+c = π,求角c.(5)術語:坡度、仰角、俯角、方位角(以特定基準方向為起點(一般為北方),依順時針方式旋轉至指示方向所在位置,其間所夾的角度稱之。
方位角α的取值範圍是:0°≤α<360。
第三部分:數列
證明數列是等差(比)數列
(1)等差數列:定義法:對於數列,若(常數),則數列是等差數列。
等差中項法:對於數列,若,則數列是等差數列。注:
後兩種方法僅適用於選擇、填空:③(形如一次函式)④(常數項為0的二次)
(2)等比數列:①定義法:對於數列,若,則數列是等比數列。②等比中項法:對於數列,若,則數列是等比數列
2.求數列通項公式方法 (1)公式法:等差數列中an=a1+(n-1)d 等比數列中an= a1 qn-1; (2)( 注意 :驗證a1是否包含在an 的公式中)
(3)遞推式為=+f(n) (採用累加法);=×f(n) (採用累積法);例已知數列滿足, = ,則答:)(4)構造法;形如,(p,q為常數且pq)的遞推數列,可構造等比數列,例 ①已知,求(答:); (5)涉及遞推公式的問題,常借助於「迭代法」解決:
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)+a1 ; an=
(6)倒數法形如的遞推數列如①已知,求(答:);3.求數列前n項和.
常見方法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關鍵找通項結構.
(1)公式法:等差數列中 sn== ;等比數列中當q=1,sn=na1 當q≠1,sn==(注:討論q是否等於1)。
(2)分組法求數列的和:如an=2n+3n ;
(3)錯位相減法:, ,如an=(2n-1)2n;(注)
(4)倒序相加法求和:如①在等差數列中,前4項的和為40,最後4項的和為80,所有各項的和為720,則這個數列的項數n=______;(答:48);②已知,則=___(答:)
(5)裂項法求和:,如求和答: )
(6)在求含絕對值的數列前n項和問題時,注意分類討論及轉化思想的應用,總結時寫成分段數列。
4.的最值問題方法(1)在等差數列中,有關sn 的最值問題——從項的角度求解:
①當,d<0時,滿足的項數m使得取最大值.
②當,d>0時,滿足的項數m使得取最小值。
(2)轉化成二次函式配方求最值(注:n是正整數,若n不是正整數,可觀察其兩側的兩個整數是否滿足要求)。如①等差數列中,,,問此數列前多少項和最大?
並求此最大值。(答:前13項和最大,最大值為169);②若是等差數列,首項,,則使前n項和成立的最大正整數n是答:
4006)
5.求數列的最大、最小項的方法(函式思想):
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) ,如an= ③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性如an=
6.常用性質:(1)等差數列的性質:對於等差數列.()
.若,則。.若數列是等差數列,是其前n項的和,,那麼,,成等差數列。.設數列是等差數列,是奇數項的和,是偶數項項的和,是前n項的和,則有如下性質:()奇數項()偶數項
.若等差數列的前項的和為,等差數列的前項的和為,則。(應用於選擇、填空,要會推導,正用、逆用)
(2)等比數列性質:在等比數列中①.();②.若m+n=p+q,則aman=apaq;如(1)在等比數列中,,公比q是整數,則=___(答:
512);(2)各項均為正數的等比數列中,若,則 (答:10)。③.若數列是等比數列且q≠-1,是其前n項的和,,那麼,,成等比數列。
如:公比為-1時,、-、-、…不成等比數列
7.常見結論:(1)三個數成等差的設法:a-d,a,a+d;四個數成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
(2)三個數成等比的設法:a/q,a,aq; (3)若、成等差,則成等差;(4)若、成等比,則(k≠0)、、、成等比;(5)成等差,則 (c>0)成等比.
(6)(bn>0)成等比,則(c>0且c1)成等差。
第四部分不等式
1.兩個實數a與b之間的大小關係—作差法或作商法2.不等式的證明方法(1)比較法(2)綜合法.(3)分析法注:一般地常用分析法探索證題途徑,然後用綜合法
3. 解不等式(1)一元一次不等式的解法① ②
(2)一元二次不等式的解法(三個二次關係)
判別式二次函式
的圖象一元二次方程相異實根相等實根沒有實根
的根解集r
解集注: 解集為r,( 對恆成立)
則若二次函式係數含引數且未指明不為零時,需驗證
若解集為r呢?如:關於x的不等式對恆成立,則的取值範圍 。略解(ⅰ)(ⅱ)
(3)絕對值不等式如果a>0,那麼
(4)分式不等式若係數含引數時,須判斷或討論係數,化負為正,寫出解集。
主要應用:1.解一元二次不等式;2.
解分式不等式;3.解含參的一元二次不等式(先因式分解,分類討論,比較兩根的大小);4恆成立問題(注:①討論二次項係數是否為0;②開口方向與判別式);5.
已知,,求的取值範圍;(①換元法;②線性規劃法)。
4.簡單的線性規劃問題應用:(1)會畫可行域,求目標函式的最值及取得最值時的最優解(注:可行域邊界的虛實);(2)求可行域內整數點的個數;(3)求可行域的面積;(4)根據目標函式取得最值時最優解(個數)求引數的值(引數可**性約束條件中,也可在目標函式中);(5)實際問題中注意調整最優解(反代法)。
5.常用的基本不等式和重要的不等式(1)(2),則;注:
(3)(4) ;
6.均值不等式的應用——求最值(可能出現在實際應用題)設,則
(1)若積
(2)若和即:積定和最小,和定積最大。
注:運用均值定理求最值的三要素:「一正、二定、三相等」技巧:
①湊項,例(x>2)②湊係數 ,例當時,求的最大值;(答:8)③添負號,例;④拆項,例求的最小值(答:9 )⑤構造法,例求的最大值(答:
1)。⑥「1」的靈活代換,若且,則的最小值是________(答:16)(3)若用均值不等式求最值,等號取不到時,需用定義法先證明單調性,後根據單調性求最值,例求的最小值。
第五部分簡易邏輯
邏輯聯結詞,命題的形式:p或q(記作「p∨q」 );p且q(記作「p∧q」 );非p(記作「┑q」 ) 。
2、「或」、 「且」、 「非」的真值判斷(1)「非p」形式復合命題的真假與f的真假相反;(2)「p且q」形式復合命題當p與q同為真時為真,其他情況時為假;(3)「p或q」形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況時為真.4常見結論的否定形式
5、四種命題:原命題:若p則q; 逆命題:若q則p;否命題:若┑p則┑q;逆否命題:若┑q則┑p。
6、四種命題之間的相互關係:乙個命題的真假與其他三個命題的真假有如下關係:(原命題逆否命題)
①、原命題為真,它的逆命題不一定為真。②、原命題為真,它的否命題不一定為真。③、原命題為真,它的逆否命題一定為真。
7、如果已知pq那麼我們說,p是q的充分條件,q是p的必要條件。
若pq且qp,則稱p是q的充要條件,記為pq.
8.命題的否定只否定結論;否命題是條件和結論都否定。
9、反證法:從命題結論的反面出發(假設),引出(與已知、公理、定理…)矛盾,從而否定假設證明原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法。
高二數學上學期知識點
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