第2講直接證明與間接證明
a級基礎演練(時間:30分鐘滿分:55分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.(2013·中山調研)設a,b∈r,則「a+b=1」是「4ab≤1」的
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既不充分也不必要條件
解析若「a+b=1」,則4ab=4a(1-a)=-42+1≤1;若「4ab≤1」,取a=-4,b=1,a+b=-3,即「a+b=1」不成立;則「a+b=1」是「4ab≤1」的充分不必要條件.
答案 a
2.(2013·金華十校聯考)對於平面α和共面的直線m,n,下列命題中真命題是
( ).
a.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
b.若m∥α,n∥α,則m∥n
c.若mα,n∥α,則m∥n
d.若m,n與α所成的角相等,則m∥n
解析對於平面α和共面的直線m,n,真命題是「若mα,n∥α,則m∥n」.
答案 c
3.要證:a2+b2-1-a2b2≤0,只要證明
a.2ab-1-a2b2≤0b.a2+b2-1-≤0
c.-1-a2b2≤0d.(a2-1)(b2-1)≥0
解析因為a2+b2-1-a2b2≤0(a2-1)(b2-1)≥0,故選d.
答案 d
4.(2013·四平二模)設a,b是兩個實數,給出下列條件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:「a,b中至少有乙個大於1」的條件是
abcd.③④⑤
解析若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;
對於③,即a+b>2,則a,b中至少有乙個大於1,
反證法:假設a≤1且b≤1,
則a+b≤2,與a+b>2矛盾,
因此假設不成立,a,b中至少有乙個大於1.
答案 c
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.用反證法證明命題「a,b∈n,ab可以被5整除,那麼a,b中至少有乙個能被5整除」,那麼假設的內容是
解析 「至少有n個」的否定是「最多有n-1個」,故應假設a,b中沒有乙個能被5整除.
答案 a,b中沒有乙個能被5整除
6.設a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關係是________.
解析取a=2,b=1,得m-<<+a0,顯然成立.
答案 m三、解答題(共25分)
7.(12分)若a,b,c是不全相等的正數,求證:
lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
證明 ∵a,b,c∈(0,+∞),
∴≥>0,≥>0,≥>0.
又a,b,c是不全相等的正數,
故上述三個不等式中等號不能同時成立.
∴··>abc成立.
上式兩邊同時取常用對數,
得lg>lg(abc),
∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
8.(13分)(2013·鶴崗模擬)設數列是公比為q的等比數列,sn是它的前n項和.
(1)求證:數列不是等比數列;
(2)數列是等差數列嗎?為什麼?
(1)證明假設數列是等比數列,則s=s1s3,
即a (1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),
因為a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,
即q=0,這與公比q≠0矛盾,
所以數列不是等比數列.
(2)解當q=1時,sn=na1,故是等差數列;
當q≠1時,不是等差數列,否則2s2=s1+s3,
即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),
得q=0,這與公比q≠0矛盾.
b級能力突破
(時間:30分鐘滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.(2013·漳州一模)設a,b,c均為正實數,則三個數a+,b+,c+( ).
a.都大於2b.都小於2
c.至少有乙個不大於2d.至少有乙個不小於2
解析 ∵a>0,b>0,c>0,
∴++=++
≥6,當且僅當a=b=c時,「=」成立,故三者不能都小於2,即至少有乙個不小於2.
答案 d
2.(2012·濱州期末)如果△a1b1c1的三個內角的余弦值分別等於△a2b2c2的三個內角的正弦值,則
a.△a1b1c1和△a2b2c2都是銳角三角形
b.△a1b1c1和△a2b2c2都是鈍角三角形
c.△a1b1c1是鈍角三角形,△a2b2c2是銳角三角形
d.△a1b1c1是銳角三角形,△a2b2c2是鈍角三角形
解析由條件知,△a1b1c1的三個內角的余弦值均大於0,則△a1b1c1是銳角三角形,假設△a2b2c2是銳角三角形.
不妨令得
那麼,a2+b2+c2=,這與三角形內角和為π相矛盾.
所以假設不成立,所以△a2b2c2是鈍角三角形.
答案 d
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2013·株洲模擬)已知a,b,μ∈(0,+∞)且+=1,則使得a+b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________.
解析 ∵a,b∈(0,+∞)且+=1,
∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16,∴a+b的最小值為16.
∴要使a+b≥μ恆成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.
答案 (0,16]
4.(2012·金華一模改編)已知下表中的對數值有且只有乙個是錯誤的.
試將錯誤的對數值加以改正________.
解析由2a-b=lg 3,得lg 9=2lg 3=2(2a-b)從而lg 3和lg 9正確,假設lg 5=a+c-1錯誤,則由
得所以lg 5=1-lg 2=a+c.因此lg 5=a+c-1錯誤,正確結論是lg 5=a+c.
答案 lg 5=a+c
三、解答題(共25分)
5.(12分)已知f(x)=x2+ax+b.
(1)求:f(1)+f(3)-2f(2);
(2)求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有乙個不小於.
(1)解 ∵f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,
∴f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)證明假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小於.
則-∴-1<-2f(2)<1,-1∴-2這與f(1)+f(3)-2f(2)=2矛盾.
∴假設錯誤,即所證結論成立.
6.(13分)對於定義域為[0,1]的函式f(x),如果同時滿足以下三條:
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函式f(x)為理想函式.
(1)若函式f(x)為理想函式,求f(0)的值;
(2)判斷函式g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否為理想函式,並予以證明.
解 (1)取x1=x2=0可得f(0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0,
又由條件①得f(0)≥0,故f(0)=0.
(2)顯然g(x)=2x-1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0;
也滿足條件②g(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
則g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]
=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]
=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x2-1)(2x1-1)≥0,
即滿足條件③,故g(x)是理想函式.
第2講直接證明與間接證明
一 選擇題 1.所有9的倍數都是3的倍數,某奇數是9的倍數,故該奇數是3的倍數.上述推理 a 小前提錯b 結論錯 c 正確d 大前提錯 解析大前提,小前提都正確,推理正確,故選c.答案 c 2 對於平面 和共面的直線m,n,下列命題中真命題是 a 若m m n,則n b 若m n 則m n c 若m...
第2講直接證明與間接證明
a級基礎演練 時間 30分鐘滿分 55分 一 選擇題 每小題5分,共20分 1 2013 中山調研 設a,b r,則 a b 1 是 4ab 1 的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件 c 充要條件d 既不充分也不必要條件 解析若 a b 1 則4ab 4a 1 a 42 1 1 若 4ab 1 ...
學生第2講直接證明與間接證明
基礎梳理 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等,經過一系列的推理論證,最後推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等,q表示要證的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,...