[a組基礎演練·能力提公升]
一、選擇題
1．用反證法證明某命題時，對結論：「自然數a，b，c中恰有乙個偶數」正確的反設為( )
a．a，b，c中至少有兩個偶數
b．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數
c．a，b，c都是奇數
d．a，b，c都是偶數
解析：「恰有乙個偶數」的對立面是「沒有偶數或至少有兩個偶數」．
答案：b
2．若x，y∈r，則下面四個式子中恆成立的是( )
a．log2(1＋2x2)>0 b．x2＋y2≥2(x－y－1)
c．x2＋3xy>2y2 d. <
解析：∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故a不正確；
x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故b正確；令x＝0，y＝1，則x2＋3xy<2y2，故c不正確；
令x＝3，y＝2，則》，故d不正確．
答案：b
3．(2023年張家口模擬)分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：「設a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a」索的因應是( )
a．a－b＞0 b．a－c＞0
c．(a－b)(a－c)＞0 d．(a－b)(a－c)＜0
證明：＜a
b2－ac ＜ 3a2
(a＋c)2－ac ＜ 3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
－2a2＋ac＋c2＜0
2a2－ac－c2＞0
(a－c)(2a＋c)＞0(a－c)(a－b)＞0.
答案：c
4．已知函式y＝f(x)的定義域為d，若對於任意的x1，x2∈d(x1≠x2)，都有f<，則稱y＝f(x)為d上的凹函式．由此可得下列函式中為凹函式的是( )
a．y＝log2x b．y＝
c．y＝x2 d．y＝x3
解析：可以根據圖象直觀觀察，對於c證明如下：
欲證f<，即證2<，即證(x1＋x2)2<2x＋2x，即證(x1－x2)2>0，顯然成立．故原不等式得證．
答案：c
5．不相等的三個正數a，b，c成等差數列，並且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，則x2，b2，y2三數( )
a．成等比數列而非等差數列
b．成等差數列而非等比數列
c．既成等差數列又成等比數列
d．既非等差數列又非等比數列
解析：由已知條件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差數列．
答案：b
6．(2023年濰坊質檢)設f(x)是定義在r上的奇函式，且當x≥0時，f(x)單調遞減，若x1＋x2＞0，則f(x1)＋f(x2)的值( )
a．恒為負值 b．恆等於零
c．恒為正值 d．無法確定正負
解析：由f(x)是定義在r上的奇函式，且當x≥0時，f(x)單調遞減，可知f(x)是r上的單調遞減函式，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)＜0，故選a.
答案：a
二、填空題
7．某同學準備用反證法證明如下乙個問題：函式f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對於不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|< .
那麼他的反設應該是________．
答案：「x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|則|f(x1)－f(x2)|≥」
8．設a，b是兩個實數，給出下列條件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；
④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：「a，b中至少有乙個大於1」的條件是填序號)
解析：若a＝，b＝，則a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab＞1，故⑤推不出；
對於③，即a＋b＞2，則a，b中至少有乙個大於1，
反證法：假設a≤1 且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，
因此假設不成立，故a，b中至少有乙個大於1.
答案：③
9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，則使得a＋b≥μ恆成立的μ的取值範圍是________．
解析：∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b) ＝10＋≥10＋2＝16，
∴a＋b的最小值為16.
∴要使a＋b≥μ恆成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案：(0,16]
三、解答題
10．已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有乙個數大於25.
證明：假設a1，a2，a3，a4均不大於25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
則a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
這與已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假設錯誤．
所以a1，a2，a3，a4中至少有乙個數大於25.
11．已知m＞0，a，b∈r，求證： 2≤.
證明：(分析法)
∵m＞0，∴1＋m＞0.
∴要證原不等式成立，
只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即證m(a2－2ab＋b2)≥0，
即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立．
故原不等式得證．
12．(能力提公升)(1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)設1≤a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
證明：(1)要證x＋y＋≤＋＋xy，
即證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
又[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0成立，從而所證不等式成立．
(2)設logab＝x，logbc＝y，由對數的換底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
於是，所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy.
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)可知所要證明的不等式成立．
[b組因材施教·備選練習]
1．已知a，b，c是互不相等的非零實數，用反證法證明三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有乙個方程有兩個相異實根．
證明：假設三個方程都沒有兩個相異實根，
則δ1＝4b2－4ac≤0，
δ2＝4c2－4ab≤0，
δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三個式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0.
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零實數．
∴上式「＝」不能同時成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，與事實不符，
∴假設不成立，原結論成立．
即三個方程中至少有乙個方程有兩個相異實根．
2．在△abc中，三個內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若＋＝，試問a，b，c是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．
解析：a，b，c成等差數列．
證明如下：
∵＋＝∴＋＝3，
∴＋＝1，
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△abc中，由餘弦定理，得
cos b＝＝＝，
∵0°∴a＋c＝2b＝120°，
∴a，b，c成等差數列．
2019高考複習直接證明與間接證明
一 選擇題 1 設a lg2 lg5，b ex x 0 則a與b大小關係為 a a bb ac a b d a b 解析 選a.a lg2 lg5 lg10 1，而b exb.2 用反證法證明命題 三角形的內角中至少有乙個不大於60度 時，假設正確的是 a 假設三內角都不大於60度 b 假設三內角都...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...
直接證明與間接證明
1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數學定義 公理 定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法 框圖表示 其中p表示已知條件 已有的定義 公理 定理等，q表示要證明的結論 2 分析法 定義 從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後...