專題一集合與簡易邏輯
一、選擇題
1．若a=, b=，則a∩(crb)的元素個數為（ ）
a．0b．1c．2d．3
2．命題「若x2<1，則-1 a．若x2≥1，則x≥1或x≤-1b．若-1 c．若x>1或x<-1，則x2>1d．若x≥1或x≤-1，則x2≥1
3．若集合m=, n=，則n中元素的個數為（ ）
a．9b．6c．4d．2
4．對於集合m、n，定義m-n=，mn=(m-n)∪(n-m)．設a=, b=，則ab=（ ）
a． b． c． d．
5．命題「對任意的x∈r，x3-x2+1≤0」的否定是（ ）
a．不存在，x∈r, x3-x2+1≤0b．存在x∈r，x3-x2+1≤0
c．存在x∈r, x3-x2+1>0d．對任意的x∈r, x3-x2+1>0
6．若f(x)是r上的減函式，且f(0)=3，f(3)=-1，設p=, q=，若「x∈p」是「x∈q」的充分不必要條件，則實數t的取值範圍是（ ）
a．t≤0b．t≥0c．t≤-3d．t≥-3
7．設p：f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1在(0, +∞)內單調遞增, q：m≥-5，則p是q的（ ）
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
二、填空題
8．已知全集u=, a=, b=，且a∩b=，則cu(a∪b
9．已知集合a=，若a∩=ф，則實數m的取值範圍是
10．（2023年高考·全國卷ⅱ）平面內的乙個四邊形為平行四邊形的充分條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的乙個四稜柱為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件
充要條件寫出你認為正確的兩個充要條件）
11．下列結論中是真命題的有填上序號即可）
①f(x)=ax2+bx+c在[0, +∞上單調遞增的乙個充分條件是-<0；
②已知甲：x+y≠3；乙：x≠1或y≠2．則甲是乙的充分不必要條件；
③數列, n∈n*是等差數列的充要條件是pn(n,)共線．
三、解答題
12．設全集u=r，集合a=, b=．
（1）求a∪b； （2）求(cua)∩b．
13．設p：函式f(x)=x2-4tx+4t2+2在區間[1，2]上的最小值為2，
q：t2-(2m+1)t+m(m+1)≤0．若┐p是┐q的必要而不充分條件，求實數m的取值範圍．
14．已知實數c>0，設命題p： cn=0．命題q：當x∈[,2]時，函式恆成立．如果「p或q」為真命題，「p且q」為假命題，求實數c的取值範圍．
15．對於函式f(x)，若f(x)=x，則稱x為f(x)的「不動點」；若f[f(x)]=x，則x為f(x)「穩定點」，函式f(x)的「不動點」和「穩定點」的集合分別記為a和b，即a=, b=．
（1）求證：ab；
（2）若f(x)=ax2-1(a∈r, x∈r)，且a=b=ф，求實數a的取值範圍．
一、選擇題
1．c 本題主要考查集合的運算，屬於基礎知識、基本運算能力的考查．
由1≤2–x<3，∴–11, ∴x>2，或02，或02．d 命題「若x2<1，則–13．c 當y=0時，–1≤x≤1時，故x取0或1，當y=1時，1≤x≤3，故x取1或2，當y=2時，3≤x≤5, x無解，故n中元素共4個，選c．
4．d 由題意，∴a⊕b=(a–b)
∪(b–a0, +∞．
5．c 本題考查命題的否定，對全稱性命題的否定要注意命題的量詞之間的轉換．「任意的」的否定為「存在」，「≤」的否定為「>」．
6．c 由f(x)<–1=f(3)，且f(x)為r上的減函式，故q=，由|f(x+t)–1|<2，得f(3)=–17．b 由f(x)在(0, +∞)內單調遞增可得對任意x∈(0, +∞)恆成立．而當01,；當x≥時，函式是增函式（∵分別是增函式），，且，因此只要就可以了．
綜上所述，由f(x)在(0, +∞)內單調遞增不能推出m≥–5；反之，由m≥–5可知f(x)在（0，+∞）內單調遞增，故選b．
二、填空題
8． 解析：由–4≤x≤4, x∈z，可知u=，又a∩b=，∴–2∈a且–2∈b．由–2∈a可知a2+1=–2（捨去），則a2–3=–2，∴a=±1．當a=–1時，a=, b=，這時a∪b=．∴cu(a∪b)=．當a=1時，a=, b=．這時a∩b=不合題意捨去．
9．(–4, +∞)
解析：∵a∩=ф，∴a=ф或a≠ф且a的元素小於等於零．
①當a=ф時，△=(m+2)2–4<0, 解得–4②當a≠ф且a的元素小於等於零時，解得m≥0．
綜上得m的取值範圍為(–4, +∞)．
10．兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且相等；對角線交於一點；底面是平行四邊形．
11．②③
解析：對於①，當a<0時，若，則f(x)在上遞減，故排除①；對於②，┐甲為x+y=3, ┐乙為x=1且y=2，┐乙┐甲，∴甲乙，∴②正確；對於③，若為等差數列，則sn=an2+bn．∴，∴點pn在直線y=ax+b上．反之易證，若共線，則數列成等差數列，故③正確．
三、解答題
12．解：要使有意義，須(x+3)(2–x)>0，即(x+3)(x–2)<0，解得：–3（1）a∪b=．
（2）∵cua=，∴(cua)∩b=∩=．
13．解：∵f(x)=(x–2t)2+2在[1，2]上的最小值為2，∴1≤2t≤2即≤t≤1．由t2–(2m+1)t+m(m+1)≤0，得m≤t≤m+1．∵┐p是┐q的必要而不充分條件，∴p是q的充分不必要條件，∴[，1] [m, m+1]，∴即0≤m≤．
14．解：由且c>0，知015．解：（1）若a=ф，則顯然成立，若a≠ф，設t∈a，則f(t)=t, f[f(t)]=f[t]=t，即t∈b，從而．
（2）a中元素是方程f(x)=x即ax2–1=x的根，∵a≠ф，∴a=0或．b中元素是方程a(ax2–1)2–1=x，即a3x4–2a2x2–x+a–1=0的根，由，則方程可化為(ax2–x–1)(a2x2+ax–a+1)=0．要使a=b，即方程a2x2+ax–a+1=0①無實根或其根為方程ax2–x–1=0②的根．若①無實根，則△=a2–4a2(1–a)<0解得a<；若②有實根，且①的實根是②的實根，由②有a2x2=ax+a，代入①得2ax+1=0，由此解得，再代入②得．故a的取值範圍是．
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