(時間60分鐘，滿分80分)
一、選擇題(共5個小題，每小題5分，滿分25分)
1．(2010·四川高考)函式y＝log2x的圖象大致是( )
解析：本題由對數函式的圖象和基本性質，得到選c.
答案：c
2．(2010·全國卷ⅰ)設a＝log32，b＝ln2，c＝5－，則( )
a．a＜b＜cb．b＜c＜a
c．c＜a＜bd．c＜b＜a
解析：a＝log32＝＜ln 2＝b，又c＝5－＝＜，a＝log32＞log3＝，因此c＜a＜b.
答案：c
3．(2011·湖南十校聯考)已知函式f(x)＝|log2x|，正實數m、n滿足ma.、2b.、4
cd.、4
解析：f(x)＝|log2x|＝，根據f(m)＝f(n)，及f(x)的單調性，知01，又f(x)在[m2，n]上的最大值為2，故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.
答案：a
4．已知函式f(x)＝g(x)＝log2x，則f(x)與g(x)兩函式圖象的交點個數為( )
a．4b．3
c．2d．1
解析：如圖，函式g(x)的圖象與函式f(x)的圖象交於兩點，且均在函式y＝8x－8(x≤1)的圖象上．
答案：c
5．已知函式y＝f(x)的圖象與函式y＝ax(a>0且a≠1)的圖象關於直線y＝x對稱，記g(x)＝f(x)[f(x)＋2f(2)－1]．若y＝g(x)在區間[，2]上是增函式，則實數a的取值範圍是( )
a．[2b．(0,1)∪(1,2)
c．[，1d．(0，]
解析：已知函式y＝f(x)的圖象與函式y＝ax(a>0且a≠1)的圖象關於直線y＝x對稱，則f(x)＝logax，記g(x)＝f(x)[f(x)＋f(2)－1]
＝(logax)2＋(loga2－1)logax.
當a>1時，若y＝g(x)在區間[，2]上是增函式，y＝logax為增函式，令t＝logax，t∈[loga，loga2]，要求對稱軸－≤loga，矛盾；當0答案：d
二、填空題(共4個小題，每小題5分，滿分20分)
6．已知函式f(n)＝log(n＋1)(n＋2)(n∈n*)，定義使f(1)f(2)f(3)…f(k)為整數的k(k∈n*)叫做企盼數，則在區間[1,10]內這樣的企盼數共有________個．
解析：由f(1)＝log23，f(2)＝log34，
f(1)f(2)＝log23·log34＝·＝2，
f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)＝log23log34…log78＝3，
在[1,10]內企盼數有2個．
答案：2
7．設m為常數，如果函式y＝lg(mx2－4x＋m－3)的值域為r，則m的取值範圍是________．
解析：因為函式值域為r，所以mx2－4x＋m－3能取到所有大於0的數，即滿足或m＝0.解得0≤m≤4.
答案：[0,4]
8．已知函式f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝()x；當x<4時，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23
解析：∵3<2＋log23<4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝()
答案：9．(2011·常德模擬)已知函式f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)＝0有解，則實數a的取值範圍是________．
解析：法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，即a－2x＝，令t＝2x(t>0)，則t2－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4>0，故滿足得a≥4.
法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，a＝2x＋≥4.
答案：[4，＋∞)
三、解答題(共3個小題，滿分35分)
10．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求的值．
解：(1)由loga2＝m，loga3＝n得am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝a2m·an＝22×3＝12.
(2)由已知得lg()2＝lg(xy)，
∴()2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0，
∴()2－6·＋1＝0，
∴＝3±2.
∵∴>1，從而＝3＋2，
＝1＋.
11.(2011·金華模擬)設集合a＝，若當x∈a時，函式f(x)＝log2·log2的最大值為2，求實數a的值．
解：∵a＝＝＝，
而f(x)＝(log2x－a)(log2x－2)＝(log2x)2－(a＋2)log2x＋2a，
令log2x＝t，∵≤x≤8，∴≤t≤3.
∴f(x)可轉化為g(t)＝t2－(a＋2)t＋2a，其對稱軸為直線t＝，
①當t＝≤，即a≤時，[g(t)]max＝g(3)＝2a＝1，符合題意；
②當t＝>，即a>時，[g(t)]max＝g()＝2a＝，符合題意．
綜上，a＝1或a＝.
12．已知函式f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求證：函式f(x)在(－∞，＋∞)內單調遞增；
(2)記f－1(x)為函式f(x)的反函式．若關於x的方程f－1(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值範圍．
解：證明：(1)任取x1f(x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log2，
∵x1∴0< <1，log2<0，
∴f(x1)(2)∵f－1(x)＝log2(2x－1)(x>0)，
法一：∴m＝f－1(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2(1－)，
當1≤x≤2時，≤≤，
∴≤1－≤，
∴m的取值範圍是[log2()，log2()]．
法二： 解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，得
x＝log2()，
∵1≤x≤2，∴1≤log2()≤2，
解得log2()≤m≤log2()．
∴m的取值範圍是[log2()，log2()]
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