a. b.
c.(1,+∞) d.
答案:a
解析:由δ=a2+8>0,知方程恒有兩個不等實根,又知兩根之積為負,所以方程必有一正根、一負根.令f(x)=x2+ax-2,於是不等式在區間[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值範圍為.
7.對於x∈r,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集為 .
答案:解析:令y=|x+10|-|x-2|=
則可畫出其函式圖象如圖所示:
由圖象可以觀察出使y≥8的x的範圍為[0,+∞).
故|x+10|-|x-2|≥8的解集為.
8.若不等式a<2x-x2對於任意的x∈[-2,3]恆成立,則實數a的取值範圍為 .
答案:(-∞,-8)
解析:由已知不等式a<-x2+2x對任意的x∈[-2,3]恆成立,令f(x)=-x2+2x,x∈[-2,3],
可知當x=-2時,f(x)min=f(-2)=-8,
所以實數a的取值範圍為(-∞,-8).
9.已知a,b,c∈r+,且a+b+c=1,則++的最大值為 .
答案:3
解析:(用柯西不等式)
∵(12+12+12)[()2+()2+()2]≥(1·+1·+1·)2,
∴(++)2≤3[3(a+b+c)+3].
又∵a+b+c=1,
∴(++)2≤18,
於是++≤3,
當且僅當==時,等號成立.
故(++)max=3.
10.已知a<1,解關於x的不等式》1.
解:原不等式可化為》0,
因為a<1,所以a-1<0.
故原不等式可化為<0,等價於(x-2)<0.
當0當a=0時,原不等式的解集為;
當a<0時,原不等式的解集為.
11.乙個服裝廠生產風衣,月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關係為p=160-2x,月產量x(件)與成本r(元)之間的關係為r=500+30x.
求:(1)月產量為多少時,月利潤不少於1 300元?
(2)當月產量為多少時,可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
解:(1)由題意知,月利潤y=px-r,
即y=(160-2x)x-(500+30x)
=-2x2+130x-500.
由月利潤不少於1 300元,得-2x2+130x-500≥1 300.
即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.
故月產量在20~45件時,月利潤不少於1 300元.
(2)由(1)得,y=-2x2+130x-500
=-2+,
由題意知,x為正整數.
故當x=32或x=33時,y取最大值,且最大值為1 612.
所以當月產量為32或33件時,可獲得最大利潤,且最大利潤為1 612元.
12.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.
(1)解關於a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>0的解集為(-1,3),求實數a,b的值.
解:(1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,
即a2-6a+3-b<0,
δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.
當δ≤0,即b≤-6時,原不等式的解集為.
當δ>0,即b>-6時,方程a2-6a+3-b=0有兩個根,且為a1=3-,a2=3+,
∴不等式的解集為(3-,3+).
綜上所述:當b≤-6時,原不等式的解集為;
當b>-6時,原不等式的解集為(3-,3+).
(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,
即3x2-a(6-a)x-b<0.
∵它的解集為(-1,3),
∴-1與3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的兩個根.
∴解得或
拓展延伸
13.已知函式f(x)=x2+ax+3.
(1)若當x∈r時,f(x)≥a恆成立,求a的取值範圍;
(2)若當x∈[-2,2]時,f(x)≥a恆成立,求a的取值範圍.
解:(1)f(x)≥a恆成立,即x2+ax+3-a≥0恆成立,必須且只需δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
解得-6≤a≤2.
(2)f(x)=x2+ax+3=+3-.
①當-<-2,即a>4時,f(x)min=f(-2)=-2a+7,
由-2a+7≥a,得a≤,故a∈.
②當-2≤-≤2,即-4≤a≤4時,f(x)min=3-,
由3-≥a,得-6≤a≤2.故-4≤a≤2.
③當->2,即a<-4時,f(x)min=f(2)=2a+7,
由2a+7≥a,得a≥-7,故-7≤a<-4.
綜上,得a∈[-7,2].
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