第2講引數方程、漸開線與擺線
基礎鞏固
1.在平面直角座標系xoy中,曲線c1和c2的引數方程分別為和
(t為引數),則曲線c1與c2的交點座標為 .
答案:(2,1)
解析:由曲線c1的引數方程可得x2+y2=5①,且由曲線c2的引數方程可得x=1+y②,
由①②聯立得
2.在直角座標系xoy中,曲線c1的引數方程為(α為引數),在極座標系(與直角座標系xoy取相同的長度單位,且以原點o為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線c2的方程為ρ(cos θ-sin θ)+1=0,則c1與c2的交點個數為 .
答案:2
解析:曲線c1的引數方程可化為+=1,曲線c2的極座標方程ρ(cos θ-sin θ)+1=0化為直角座標方程為x-y+1=0.因直線x-y+1=0過定點(0,1),位於橢圓c1內,故c1與c2有2個交點.
3.若直線l1:( t為引數)與直線l2:(s為引數)垂直,則k= .
答案:-1
解析:直線l1:kx+2y=k+4,直線l2:2x+y=1.
∵直線l1與l2垂直,∴2k+2=0,即k=-1.
4.若直線2x+ky-1=0(k∈r)與曲線(θ為引數)相切,則k值為 .
答案:解析:把曲線的引數方程轉化為普通方程為x2+(y+1)2=1.由題意得=1,解得k=.
5.已知曲線c的極座標方程為ρ=2cos θ.以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角座標系,則曲線c的引數方程為 .
答案:(φ為引數)
解析:以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角座標系,可知曲線c是以(1,0)為圓心,半徑為1的圓,其方程為(x-1)2+y2=1,故引數方程為(φ為引數).
6.已知直線l的斜率為k=-1,經過點m0(2,-1),則直線l的引數方程為 .
答案:(t為引數)
解析:∵直線l的斜率k=-1,∴其傾斜角α=.
於是cos α=-,sin α=.
故直線l的引數方程是(t為引數).
7.已知o為座標原點,點m(x0,y0)在曲線c:(θ為引數)上運動,點p(x,y)是線段om的中點,則點p的軌跡方程為 .
答案:+y2=
解析:∵∴(x-1)2+y2=cos2θ+sin2θ=1.
故曲線c的普通方程為(x-1)2+y2=1.
∵點m(x0,y0)在曲線c上運動,∴(x0-1)2+=1.
∵點p(x,y) 是線段om的中點,∴
即因此(2x-1)2+(2y)2=1,即+y2=.故點p的軌跡方程為+y2=.
8.已知圓的方程為y2-6ysin θ+x2-8xcos θ+7cos2θ+8=0.
(1)則圓心軌跡的引數方程c為 ;
(2)點p(x,y)是(1)中曲線c上的動點,則2x+y的取值範圍為 .
答案:(1)θ∈[0°,360°) (2)[-,]
解析:(1)將圓的方程整理得
(x-4cos θ)2+(y-3sin θ)2=1.
設圓心座標為p(x,y),則θ∈[0°,360°).
(2)由(1)可知2x+y=8cos θ+3sin θ=sin(θ+φ),其中sin φ=,cos φ=.
故-≤2x+y≤,
即2x+y的取值範圍是[-,].
9.已知動點p,q都在曲線c:(t為引數)上,對應引數分別為t=α與t=2α(0<α<2π),m為pq的中點.
(1)則m的軌跡的引數方程為 ;
(2)將m到座標原點的距離d表示為α的函式,m的軌跡是否過座標原點? .
答案:(1)(α為引數,0<α<2π) (2)是
解析:(1)依題意有p(2cosα,2sin α),q(2cos 2α,2sin 2α),
因此m(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
m的軌跡的引數方程為(α為引數,0<α<2π).
(2)m點到座標原點的距離
d==(0<α<2π).
當α=π時,d=0,故m的軌跡過座標原點.
10.在平面直角座標系中,以座標原點o為極點,x軸的正半軸為極軸建立極座標系.已知直線l上兩點m,n的極座標分別為(2,0),,圓c的引數方程為(θ為引數).
(1)設p為線段mn的中點,則直線op的平面直角座標方程為 ;
(2)直線l與圓c的位置關係為 .
答案:(1)y=x (2)相交
解析:(1)由題意知,m,n的平面直角座標分別為(2,0),.
又p為線段mn的中點,從而點p的平面直角座標為,
故直線op的平面直角座標方程為y=x.
(2)因為直線l上兩點m,n的平面直角座標分別為(2,0),,
所以直線l的平面直角座標方程為x+3y-2=0.
又圓c的圓心座標為(2,-),半徑r=2,
圓心到直線l的距離d==拓展延伸
11.在直角座標系xoy中,以o為極點,x軸正半軸為極軸建立極座標系.圓c1,直線c2的極座標方程分別為ρ=4sin θ,ρcos=2.
(1)c1與c2交點的極座標分別為
(2)設p為c1的圓心,q為c1與c2交點連線的中點.已知直線pq的引數方程為(t∈r為引數),則a= ,b= .
答案:(1) (答案不唯一) (2)-1 2
解析:(1)圓c1的直角座標方程為x2+(y-2)2=4,
直線c2的直角座標方程為x+y-4=0.
解得所以c1與c2交點的極座標為,.
注:極座標系下點的表示不唯一.
(2)由(1)可得,p點與q點的直角座標分別為(0,2),(1,3).
故直線pq的直角座標方程為x-y+2=0.
由引數方程可得y=x-+1.
所以解得a=-1,b=2.
12.在直角座標系xoy中,曲線c1的引數方程為(α為引數).m是c1上的動點,p點滿足=2,p點的軌跡為曲線c2.
(1)c2的方程為 ;
(2)在以o為極點,x軸的正半軸為極軸的極座標系中,射線θ=與c1的異於極點的交點為a,與c2的異於極點的交點為b,則|ab|= .
答案:(1)(α為引數) (2)2
解析:(1)設p(x,y),則由條件知m.
由於m點在曲線c1上,
所以即從而曲線c2的引數方程為(α為引數).
(2)曲線c1的極座標方程為ρ=4sin θ,曲線c2的極座標方程為ρ=8sin θ.
射線θ=與曲線c1的交點a的極徑為ρ1=4sin ,
射線θ=與曲線c2的交點b的極徑為ρ2=8sin.
故|ab|=|ρ2-ρ1|=2.
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