必考問題19 概率、隨機變數及其分布列
(2012·湖南)某超市為了解顧客的購物量及結算時間等資訊，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關資料，如下表所示.
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客佔55%.
(1)確定x，y的值，並求顧客一次購物的結算時間x的分布列與數學期望；
(2)若某顧客到達收銀台時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率)
答案：解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購物的結算時間組成乙個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的乙個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得
p(x＝1)＝＝，p(x＝1.5)＝＝，p(x＝2)＝＝，p(x＝2.5)＝＝，p(x＝3)＝＝.
x的分布列為
x的數學期望為
e(x)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.
(2)記a為事件「該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘」，xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則
p(a)＝p(x1＝1且x2＝1)＋p(x1＝1且x2＝1.5)＋p(x1＝1.5且x2＝1)．
由於各顧客的結算相互獨立，且x1，x2的分布列都與x的分布列相同，所以
p(a)＝p(x1＝1)×p(x2＝1)＋p(x1＝1)×p(x2＝1.5)＋p(x1＝1.5)×p(x2＝1)＝×＋×＋×＝.
故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.
結合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變數分布列、期望和方差的求解及其實際應用．
本部分複習要從整體上，知識的相關關係上進行．離散型隨機變數問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關係
必備知識
互斥事件有乙個發生的概率
若a、b是互斥事件，則p(a＋b)＝p(a)＋p(b)，p(a)＋p(a)＝1.
相互獨立事件與n次獨立重複試驗
(1)若 a1，a2，…，an是相互獨立事件，則p(a1·a2·…·an)＝p(a1)·p(a2)·…·p(an)．
(2)如果在一次試驗中事件a發生的概率為p，事件a不發生的概率為1－p，那麼在n次獨立重複試驗中事件a發生k次的概率為：
pn(k)＝cpk(1－p)n－k.
離散型隨機變數的分布列、期望與方差
(1)主幹知識：隨機變數的可能取值，分布列，期望，方差，二項分布，超幾何分布，正態分佈．
(2)基本公式：①e(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…；
②d(ξ)＝(x1－e(ξ))2p1＋(x2－e(ξ))2p2＋…＋(xn－e(ξ))2pn＋…；
③e(aξ＋b)＝ae(ξ)＋b，d(aξ＋b)＝a2d(ξ)；
④二項分布：ξ～b(n，p)，則p(ξ＝k)＝cpk(1－p)n－k，e(ξ)＝np，d(ξ)＝np(1－p)．
正態分佈
(1)若x服從引數為μ和σ2的正態分佈，則可表示為x～n(μ，σ2)．
(2)n(μ，σ2)的分布密度曲線關於直線x＝μ對稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1.
(3)當x～n(μ，σ2)時，0.683＝p(μ－σ＜x≤μ＋σ)，0.954＝p(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)，0.997＝p(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)．
以上三個概率值具有重要的應用，要熟記，不可混用．
必備方法
1．在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆後的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關的概率值進行計算的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重複試驗概型，就把這部分歸結為用獨立重複試驗概型，用獨立重複試驗概型的概率計算公式解答．
2．相當一類概率應用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景後得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質的因素去除，抓住問題的本質．
3．求解一般的隨機變數的期望和方差的基本方法是：先根據隨機變數的意義，確定隨機變數可以取哪些值，然後根據隨機變數取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據數學期望和方差的公式計算．
互斥事件、相互獨立事件的概率在求隨機變數的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多**於生活，考查閱讀理解能力及對概率知識的應用能力
【例1】 (2012·陝西)某銀行櫃檯設有乙個服務視窗，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如下：
從第乙個顧客開始辦理業務時計時．
(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務的概率；
(2)x表示至第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求x的分布列及數學期望．
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題視點] (1)第三個顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第乙個顧客需1分鐘，第二個顧客需3分鐘；第乙個顧客需3分鐘，第二個顧客需1分鐘；兩個顧客都需要2分鐘．(2)①找出第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數x的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；②求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解．
解設y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估計概率，得y的分布列如下：
(1)a表示事件「第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業務」，則事件a對應三種情形：①第乙個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；②第乙個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘；③第乙個和第二個顧客辦理業務所需的時間均為2分鐘．
所以p(a)＝p(y＝1)p(y＝3)＋p(y＝3)p(y＝1)＋p(y＝2)p(y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.
(2)法一 x所有可能的取值為0,1,2.
x＝0對應第乙個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，
所以p(x＝0)＝p(y＞2)＝0.5；
x＝1對應第乙個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業務所需的時間超過1分鐘，或第乙個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，所以p(x＝1)＝p(y＝1)p(y＞1)＋p(y＝2)＝0.1×0.9＋0.
4＝0.49；
x＝2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，
所以p(x＝2)＝p(y＝1)p(y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
所以x的分布列為
e(x)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
法二 x的所有可能取值為0,1,2.
x＝0對應第乙個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，
所以p(x＝0)＝p(y＞2)＝0.5；
x＝2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，
所以p(x＝2)＝p(y＝1)p(y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；
p(x＝1)＝1－p(x＝0)－p(x＝2)＝0.49；
所以x的分布列為
e(x)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
在概率的計算中，一般是根據隨機事件的含義，把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然後根據相應的概率公式進行計算．
【突破訓練1】 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．
(1)求再賽2局結束這次比賽的概率；
(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．
解記ai表示事件：第i局甲獲勝，i＝3,4,5，
bj表示事件：第j局乙獲勝，j＝3,4.
(1)記a表示事件：再賽2局結束比賽．
a＝a3·a4＋b3·b4.
由於各局比賽結果相互獨立，故
p(a)＝p(a3·a4＋b3·b4)＝p(a3·a4)＋p(b3·b4)
＝p(a3)p(a4)＋p(b3)p(b4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)記b表示事件：甲獲得這次比賽的勝利．
因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在後面的比賽中，甲先勝2局，從而b＝a3·a4＋b3·a4·a5＋a3·b4·a5，
由於各局比賽結果相互獨立，故
p(b)＝p(a3·a4)＋p(b3·a4·a5)＋p(a3·b4·a5)
＝p(a3)p(a4)＋p(b3)p(a4)p(a5)＋p(a3)p(b4)p(a5)
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