3.2 立體幾何中的向量方法(二) 利用向量方法求角
學習指導語:：能用向量的方法解決線線、線面、麵麵的夾角的計算問題
一． 問題情境
我們知道，空間兩條異面直線所成的角可轉化為兩條相交直線所成的銳角或直角；斜線與平面所成的角是指斜線與它在平面內的射影所成的銳角；兩個平面所成的角是用二面角的平面角來度量。這就是說，空間的角最終都可以通過轉化，用兩條相交直線所成的角來度量。
如何用向量的方法來求空間的角的大小呢？
二． 概念講解
1. 兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角
2. 直線的方向向量與平面的法向量的夾角為銳角時，直線與平面所成的角與這個夾角互餘。
3. 二面角的平面角與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補。其中，當兩個平面的法向量方向相反，則二面角的平面角與法向量的夾角 ；當兩個平面的法向量方向相同，則二面角的平面角與法向量的夾角
三．典型例題
例1. 如圖，在正方體中,點，分別在，上，且，,求與所成的角的大小。
變式1：正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是a1d1、a1c1的中點．求：異面直線ae與cf所成角的余弦值．
例2. 在正方體中,是的中點，點在上，且，試求直線與平面所成的角的大小。
:變式2：正三稜柱abc—a1b1c1的底面邊長為a，側稜長為a，求ac1與側面abb1a1所成的角．
例3. 在正方體中，求二面角的大小。
:變式3：如圖，四稜錐p－abcd中，pb⊥底面abcd，cd⊥pd，底面abcd為直角梯形，ad∥bc，ab⊥bc，ab＝ad＝pb＝3.
點e在稜pa上，且pe＝2ea.求二面角a－be－d的余弦值．
例4. 已知，分別是在正方體的稜和的中點，求：
（1）與所成角的大小；
（2）與平面所成角的大小；
（3）二面角的大小。
課堂小結：
1．兩條異面直線所成角的求法
(1)向量求法：設直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為φ，則有cosθ＝|cosφ|＝.
(2)兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．
2．直線與平面所成角的求法
設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有
sinθ＝|cosφ|＝或cosθ＝sinφ.
3．二面角的求法
與的夾角(如圖①所示)．
(2)設n1、n2是二面角α—l—β的兩個面α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是二面角的平面角的大小(如圖②所示)．
四、練習鞏固
1．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150°，則l1與l2這兩條異面直線所成的角等於( )
a．30b．150° c．30°或150d．以上均錯
2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等於150°，則直線l與平面α所成的角等於( )
a．30b．60c．150d．以上均錯
3．直角三角形abc的斜邊ab在平面α內，直角頂點c在α內的射影是c′，則△abc′是( )
a．直角三角形b．鈍角三角形
c．銳角三角形d．各種情況都有可能
4．如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，m，n，p分別是稜cc1，bc，a1b1上的點，若∠b1mn＝90°，則∠pmn的大小是( )
a．等於90b．小於90°
c．大於90d．不確定
5．在正方體abcd—a1b1c1d1中，點e為bb1的中點，則平面a1ed與平面abcd所成的銳二面角的余弦值為( )
abcd.
6．若兩個平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．則這兩個平面所成的銳二面角的度數是________．
7．正方體abcd—a1b1c1d1中，m，n分別是dd1，b1c1的中點，p是稜ab上的動點，則a1m與pn所成的角是________．
8．已知正四稜錐s—abcd的側稜長為，底面的邊長為，e是sa的中點，求異面直線be和sc所成的角．
9．如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，已知ab＝4，ad＝3，aa1＝2，e、f分別是線段ab、bc上的點，且eb＝fb＝1， (1)求二面角c—de—c1的正切值；(2)求直線ec1與fd1所成角的余弦值．
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