習題4答案
a組1. (1)無解；(2).；(3).; (4).
2. 解：時方程組有非零解。
當時，；當時，
3. 解：(1) 當且時，方程組有唯一解; (2)當時，方程組無解；(3) 當時，方程組有無窮多解。
4. 解：(1)方程組有唯一解；時，方程組有無窮多解。
(2)且時，方程組有無窮多解。
5. 證：方程組的增廣矩陣為：
將前4行加到第5行，得：
顯然方程組有解得充分必要條件為：
6. 解：(1) 向量不能由向量組表示既線性方程組：
無解，由此可知：且時，方程組無解。
(2). 向量能由向量組唯一表示既方程組
有唯一解，由此可知，與唯一解。
(3). 向量能由向量組表示，且表示方法不唯一,既方程組
有無窮多解，由此可知：且時，有無窮多解。
7. (1). 寫出方程組的係數矩陣，化為行最簡矩陣：
，由此可得乙個基礎解系：
，， (2). 寫出方程組的係數矩陣，化為行最簡矩陣：
得同解方程組：，故有基礎解系：
(3). 寫出方程組的係數矩陣，化為行最簡矩陣：
得同解方程組：，得乙個基礎解系：
(4). 寫出方程組的係數矩陣，化為行最簡矩陣：
得同解方程組：，得乙個基礎解系：
， 8. 解：設齊次線性方程組為，則
也即係數矩陣的每一行為方程組：
的解。解此線性方程組，得基礎解系：
， 故所求線性方程組為：。
9. 解：(1). 方程組a基礎解系為：，，
方程組b基礎解系為：，
(2). 方程組a與b的公共解為：，為任意常數。
10. (1)解：將方程組的增廣矩陣化為階梯矩陣：
可以看出，方程組無解。
(2)解：將方程組的增廣矩陣化為階梯矩陣：
得同解方程組：，對應齊次方程組的解：，得基礎解系：
，原方程組的乙個特解為：。所以原方程組通解為：。
(3)解：將方程組的增廣矩陣化為階梯矩陣：
得同解方程組：，其對應的齊次方程組為：
得基礎解系：，原方程組乙個特解為：，故原方程組所有解為：
，其中為任意常數。
(4)解：將方程組的增廣矩陣化為階梯矩陣：
得原方程組對應齊次方程組的乙個基礎解系：
原方程組乙個特解為：，所以原方程組通解為:
其中為任意常數。
11. 解：設，代入條件，得到：
解此線性方程組：得，
所以，12. 解：四元非齊次線性方程組的係數矩陣秩為3，則在其有解的情形下，其對應的齊次線性方程組的基礎解系含有乙個非零的向量。因為有：
所以為其對應的齊次線性方程組的乙個基礎解系。所以該方程組的通解為：
，其中為任意常數。
13．解：(1)錯誤；(2)錯誤；(3)正確；(4)正確；(5)正確
14． 證明：因為是乙個線性方程組的個解，所以，。
則：所以也是該方程組的乙個解。
15. 證明：(1)假設有個數，使得：
則有：因為是的乙個基礎解系，是非齊次線性方程組的乙個解，所以有：，因為不為零向量，所以
所以有：，因為是的乙個基礎解系，所以，所以線性無關。
(2) 假設有個數，使得：
整理得到：。
因為由上一問得到線性無關，所以有：
既：，所以線性無關。
16. 證明：設有個向量：。
因為是的線性無關的解，所以為的個解。容易證明，是線性無關的。所以由題上條件可知，是的乙個基礎解系。所以對於的任一解，可以表示為：
整理得到：
令，，既有：
，其中。
b組1. 解：寫出線性方程組的增廣矩陣並化為階梯型矩陣：
當且時，方程組有唯一解；
當且時，方程組無解；
當時，方程組有無窮多解，此時增廣矩陣化為：
故方程組的同解方程組為：，對應齊次線性方程組的基礎解系為：
，原方程組特解為：
所以原方程組的通解為：，其中為任意常數。
2. 證明：只需證明方程組的任意個線性無關的解與基礎解系等價即可。
提示：假設是方程組的乙個基礎解系，是任意個線性無關的解。則可以由線性表出，即：
必然滿秩，所以，所以與等價，必然所有的解也可以由來表示，故它也是乙個基礎解系。
3. b
4. (1)解：寫出線性方程組(i)的係數矩陣並化為行最簡形：
得基礎解系：，所以線性方程組(i)的通解為：
，其中，為任意常數。
(2)解：可知齊次線性方程組(ii)的係數矩陣的行向量為方程組：
的解，解此線性方程組，得其基礎解系：，
所以齊次線性方程組(ii)可以寫為：
將方程組(i)與方程組(ii)聯立：
將其係數矩陣化為最簡形階梯矩陣為：
可知將方程組(i)與方程組(ii)有公共解，其非零公共解可表示為：
5. 證明：平面上三條直線相交於一點的充分必要條件是關於未知數的線性方程組：
有唯一解，則有係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩等於未知數的個數，即：
所以，線性無關，向量組線性相關。
6. 解：方程組(i)的基礎解系為：
，則說明其係數矩陣
的秩為。所以線性無關。而滿足方程組(i)。
因為方程組(ii)的係數矩陣：
的秩為n，故方程組(ii)的基礎解系含有n個線性無關的解向量。
而線性無關，且滿足方程組(ii)，由此可以指出，即為方程組：
(ii)
的乙個基礎解系。
7. 解：與等價時，也是的乙個基礎解系。由題中條件，有:
即可以由線性表出。如果可逆，則也可以由線性表出。此時也即是也是乙個基礎解系。
計算行列式：
所以，當時，與等價，此時也是的乙個基礎解系。
8. 解：因為線性無關，，所以四階方陣的秩為3，所以所對應的齊次線性方程的基礎解系含有乙個非零向量。因為，即，所以為的解，也即是的乙個基礎解系。
因為，所以為的乙個解，故的通解為：
，其中為任意常數。
9. 解：四元非齊次線性方程組的係數矩陣的秩等於，所以基礎解系含有乙個非零的解向量。為三個解，且，，則:
為的乙個基礎解系，則的通解為：
，其中為任意常數。
線代第五章答案
第五章二次型 一 溫習鞏固 1 寫出下列二次型的矩陣 1 解 2 解 3 解 4 解 5解 6解 1.寫出下列矩陣對應的二次型 1 解 2 解 3 解 4 解 2.判定下列二次型的正定性 1 二次型是否正定？解 的矩陣為 所以為正定 2 二次型是否正定?解 此二次型的矩陣為 順序主子式所以此二次型不...
濟南大學14年線代答案
一 填空題 每小題2分,共14分 1 x2 x 6 2 n1 2 3 4 0 5.6 橢圓拋物面 7.二 選擇題 每小題2分,共14分 1.b 2.b 3.a 4 d 5 c 6.c 7 d 三 計算題 每小題10分,共40分 1 解 2 解 f a a3 2a2 2a 9a 6a 2a a 3 解...
線代 證明題
線性代數複習之二證明題 一 8分 設方陣a滿足,證明可逆，並求的逆陣。證明 3分 所以，得6分 故可逆，且的逆陣為8分 二 5分 已知，證明 證明 因為 1分 3分 又因為得證5分 三 8分 設a為n階矩陣，是a的不同特徵值，依次是屬於 的特徵向量，試證明不是a的特徵向量.證明 假設是a的特徵向量。...