圓中的輔助線
模型1 連半徑構造等腰三角形
已知ab是⊙o的一條弦，
連線oa、ob，則∠a=∠b。
模型分析
在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件，我們通常可以連線半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的性質及圓中的相關定理，解決角度的計算問題。
模型例項
例1．如圖，cd是⊙o的直徑，∠eod=84°，ae交⊙o於點b，
且ab=oc，求∠a。
熱搜精練
1．如圖，ab經過⊙o的圓心，點b在⊙o上，
若ad=ob，且∠b=54°。試求∠a的度數。
2．如圖，ab是⊙o的直徑，弦pq交ab於m，且
pm=mo。求證：弧弧bq。
模型2 構造直角形
圖①，已知ab是⊙o的直徑，點c是圓上一
點，連線ac、bc，則∠acb=90°。
如圖②，已知ab是⊙o的一條弦，過點o作
oe⊥ab，則。
模型分析
（1）如圖①，當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路，在證明有關問題中注意90°的圓周角的構造。
（2）如圖②，在解決求弦長、弦心距、半徑問題時，在圓中常作弦心距或連線半徑作為輔助線，利用弦心距、半徑和半弦組成乙個直角三角形，再利用勾股定理進行計算。
模型例項
例1．如圖，已知⊙o的直徑ab和弦cd相交於點e，
ae=2，be=6，∠deb=60°，求cd的長。
例2．如圖，ab是⊙o的直徑，ab=ac，bc交⊙o於點d，
ac交⊙o於點e，∠bac=45°。
（1）求∠ebc的度數；
（2）求證：bd=cd。
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1．如圖，⊙o的弦ab、cd互相垂直，垂足為e，且ae=5，be=13，點o到ab
的距離為，求點o到cd距離，線段oe的長及⊙o的半徑。
2．已知，ab和cd是⊙o的兩條弦，且ab⊥cd於點h，連線bc、ad，作
oe⊥ad於點e。求證：。
3．如圖，直徑ab=2，ab、cd交於點e且夾角為45°，
則。模型3 與圓的切線有關的輔助線
（1）切線的性質；
（2）切線的判定方法。
模型例項
例1．如圖，oa、ob是⊙o的半徑，且oa⊥ob，p是oa上任意一點，bp的延長線交⊙o於q，過q點的切線交oa的延長線於r。求證：rp=rq。
例2．如圖，△abc內接於⊙o，過a點作直線de，當∠bae=∠c，試確定直線
de與⊙o的位置關係，並證明你的結論。
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1．如圖，在△abc中，以ab為直徑的⊙o分別於bc、ac相交於點d、e，
bd=cd，過點d作⊙o的切線交ac於點f。求證：df⊥ac。
2．如圖，ab是⊙o的直徑，ac是它的切線，co平分
∠acd。求證：cd是⊙o的切線。
3．如圖，直線ac與⊙o相交於b、c兩點，e是弧bc的中點，d是⊙o上一點，若∠eda=∠amd。求證：ad是⊙o的切線。
補充：1、如圖，正△abc的邊長為3cm，動點p從點a出發，以每秒1cm的速度，沿a→b→c的方向運動，到達點c時停止，設運動時間為x（秒），y=pc2，則y關於x的函式的圖象大致為（ ）
a b．c． d．
2、如圖，在邊長為4的正方形abcd中，動點p從a點出發，以每秒1個單位長度的速度沿ab向b點運動，同時動點q從b點出發，以每秒2個單位長度的速度沿bc→cd方向運動，當p運動到b點時，p、q兩點同時停止運動．設p點運動的時間為t，△apq的面積為s，則s與t的函式關係的圖象是（ ）
ab c d
3、如圖，a點在半徑為2的⊙o上，過線段oa上的一點p作直線，與⊙o過a點的切線交於點b，且∠apb=60°，設op= x，則△pab的面積y關於x的函式影象大致是【 】
4、如圖，在平面直角座標系中，四邊形oabc為菱形，點c的座標為(4,0)，∠aoc=60°，垂直於x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形oabc的兩邊分別交於點m、n(點m在點n的上方).
1.求a、b兩點的座標；
2.設△omn的面積為s，直線l運動時間為t秒(0≤t≤6)，試求s與t的函式表示式；
3.在題(2)的條件下，t為何值時，s的面積最大？最大面積是多少？
5、如圖，rt△abc的內切圓⊙o與ab、bc、ca分別相切於點d、e、f，且
∠acb=90°，ab=5，bc=3，點p在射線ac上運動，過點p作ph⊥ab，垂足為h．
（1）直接寫出線段ac、ad及⊙o半徑的長；
（2）設ph=x，pc=y，求y關於x的函式關係式；
（3）當ph與⊙o相切時，求相應的y值．
6、如圖，在平面直角座標系中，⊙a與x軸相交於c（﹣2，0），d（﹣8，0）兩點，與y軸相切於點b（0，4）．
（1）求經過b，c，d三點的拋物線的函式表示式；
（2）設拋物線的頂點為e，證明：直線ce與⊙a相切；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點f，使△bdf面積最大，最大值是多少？並求出點f的座標．
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