2023年廣州市卡西歐杯高二數學競賽試題
參***及評分標準
一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分．（1234）
二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．（5）本小題答案不唯一，只要滿足題設條件即為正確答案。例如：
， ， ，
， ，
， ，
，，等等．
（678）dhho， maths （9）第（9）題參考解答： 設，則．
依題意有，，即，即．
故當且僅當即時取等號．
三、解答題：本大題共5小題，滿分90分．
（10）（本小題滿分15分）
解 ∴ 最小正週期
單調遞減區間為
（ⅱ）令，則
要使在上恰有兩個的值滿足，
則，解得．
（11）（本小題滿分20分）
解：（ⅰ）：， ：，
解得，．
於是所以．易知，
故（ⅱ），
所以當或時，取得極值
因為當時，，故在上是減函式．
所以當時，取得最大值
（12）（本小題滿分20分）
解：（ⅰ）當時，
各式相加得，
求得．又當時，滿足上式，故
（ⅱ）（ⅲ），
，當時，；
當時，；
當時，；
猜想當時
以下用數學歸納法證明:
①當時，左邊右邊，命題成立．
②假設當時，，即．
當時，命題成立．
故當時，．
綜上所述，當時，，
當時，，
當時，．
（13）（本小題滿分20分）
解：（ⅰ）因的圖象關於點對稱，
故的圖象關於原點對稱．
故，易得，
因為時，有極值，所以時，也有極值．
故．∴，
於是．又由得，
由此解得，，
（ⅱ）設這兩個切點分別為，並且，
，依題意有
因且，故．
由(*)式得，即．
故，解得或．
同理可得或．
又因為當與同時成立時與(*)式矛盾，
所以或．
故，或，．
即所求的兩點為或
（ⅲ）∵，
故當或時，；
當時，．
所以的單調遞增區間為和，
的單調遞減區間為．
因，故．
即，故；
因，，，，
故，故．故
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