幾何（二）
一、平行線&&平移
a1、如圖，rt△abc中，∠acb=90°，點d為邊ac上一點，de⊥ab於點e．點m為bd中點，cm的延長線交ab於點f．若△dae≌△cem，點n為cm的中點，求證：an∥em．
a2、已知△abd和△cbd關於直線bd對稱(點a的對稱點是點c)，點e、f分別是線段bc和線段bd上的點，且點f**段ec的垂直平分線上，聯結af、ae，交bd於點g．
（1）如圖（1），求證：∠eaf=∠abd；（2）如圖（2），當ab=ad時，m是線段ag上一點，聯結bm、ed、mf，mf的延長線交ed於點n，∠mbf=∠baf，af=ad，試**線段fm和fn之間的數量關係，並證明你的結論．
a3、已知正方形abcd，點m邊ab的中點．
（1）如圖1，點g為線段cm上的一點，且∠agb=90°，延長ag、bg分別與邊bc、cd交於點e、f．
①求證：be=cf；
②求證：be=bcce．
（2）如圖2，在邊bc上取一點e，滿足be=bcce，連線ae交cm於點g，連線bg並延長cd於點f，求tan∠cbf的值．
a4、在平面直角座標系中，若兩點p、q的座標分別是則用座標表示p、q這兩點間的距離為|pq
對於某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡，如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線
解決問題：如圖，已知在平面直角座標系xoy中，直線y=kx+0.5交y軸於點a，點a關於x軸的對稱點為點b，過點b作直線l平行於x軸
（1）到點a距離等於線段ab長度的點的軌跡是
（2）若動點c（x,y）滿足到直線l的距離等於線段ca的長度，求動點c軌跡的函式式
（3）若（2）中的動點c的軌跡與直線y=kx+0.5交於e,f兩點，分別過e,f作直線l的垂線，垂足分別是m,n求證①ef是△amn外接圓的切線②為定值.
a5、六邊形abcdef中，ab∥de，bc∥ef，其各邊之差相等，即bc –ef=de- ab=af-cd＞0
求證：六邊形abcdef的各角相等
a6、設p是平行四邊形abcd內部的一點，且∠pba＝∠pda．
求證：∠pab＝∠pcb．
a7、如圖，已知：線段ab=cd，ab與dc相交於o，∠aoc=60°．求證：ac+bd≥ab．
二、角平分線&&翻摺
b1、平行四邊形abcd中，設e、f分別是bc、ab上的一點，ae與cf相交於p，且
ae＝cf．求證：∠dpa＝∠dpc．
b2、如圖，在中，點、是，的三等分線的交點，當時，求度數
b3、如圖，點m（m，n）在第一象限，且 2 +3 =n-4 ，過o、m兩點作圓分別與x軸正半軸，y軸正半軸交於a、b兩點，c在弧ao上，bc交om於d，且co=cd．（1）求m點的座標；（2）若∠bdm=60°，連am，求的值；（3）過d作dh⊥ab於h，下列結論：①dh+ab的值不變；②dh+ab的值不變，其中有且只有乙個結論是正確的，請你作出正確判斷並予以證明．
b4、設p是正方形abcd一邊bc上的任一點，pf⊥ap，cf平分∠dce．
求證：pa＝pf．（至少用三種方法）
b5、如圖，bd,ce是△abc的內角平分線，f是線段de上的一點，過p引bc，ac，bc的垂線段fp,fq,fr，證明：fp=fq+fr
三、半形模型
c1、如圖1，在正方形abcd中，點m、n分別在ad、cd上，若∠mbn=45°，易證mn=am+cn
⑴ 如圖2，在梯形abcd中，bc∥ad，ab=bc=cd， 點m、n分別在ad、cd上，
若∠mbn=∠abc ,試**線段mn、am、cn有怎樣的數量關係？請寫出猜想，並給予證明．
⑵ 如圖3，在四邊形abcd中，ab=bc，∠abc+∠adc=180°，點m、
n分別在da、cd的延長線上，若∠mbn=∠abc，試**線段
mn、am、cn又有怎樣的數量關係？請直接寫出猜想，不需證明．
c2*、如圖，以銳角三角形的邊為底邊，為底角，向外作等腰三角形，為中點，分別在邊上，且，求證：.
c3、已知正方形abcd的內切圓⊙o分別與bc、cd、da、ab相切於點n、q、p、m，點e、f分別**段cq、cn上，ae∥mf，求證：ef是⊙o的切線.
c4、如圖，正方形abcd被兩條與邊平行的線段ef、gh分割成4個小矩形，p是ef與gh的交點，若矩形pfch的面積恰好是矩形agpe面積的2倍，試確定∠haf的大小，並證明你的結論．
四、特殊三角形以及特殊角
d1*、已知中，點是中點，，，求證：
d2、如圖1，在△abc看，把ab點繞點a順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到ab'，把ac繞點a逆時針旋轉β得到ac'，連線b'c'．當α+β=180°時，我們稱△a'b'c'是△abc的「旋補三角形」，△ab'c'邊b'c'上的中線ad叫做△abc的「旋補中線」，點a叫做「旋補中心」．
（1）在圖2，圖3中，△ab'c'是△abc的「旋補三角形」，ad是△abc的「旋補中線」．
①如圖2，當△abc為等邊三角形時，ad與bc的數量關係為ad= bc；
②如圖3，當∠bac=90°，bc=8時，則ad長為 ．
（2）在圖1中，當△abc為任意三角形時，猜想ad與bc的數量關係，並給予證明．
（3）如圖4，在四邊形abcd，∠c=90°，∠d=150°，bc=12，cd=2，da=6．在四邊形內部是否存在點p，使△pdc是△pab的「旋補三角形」？若存在，給予證明，並求△pab的「旋補中線」長；若不存在，說明理由．
d3*、在中, , ,p為的角平分線與的角平分線的交點.證明:.
d5*、如圖，在正方形abcd中，m是線段ab上一點，n是線段bc上一點，且am=bn，連線dm,dn，分別交對角線於點p、q，點o是平面上的一點，且op=ap,oq=cq,求∠poq的度數。
d6*、在△abc中，ab=ac，d是ac中點，已知∠dbc=30，求證：△abc是等邊三角形。
d7*、已知：如圖，p是正方形abcd內點，∠pad＝∠pda＝150．
求證：△pbc是正三角形．
d8*、如圖，△abc為等邊三角形，d為ab上一點，點e為cd延長線上一點，ce=cb，連線be並延長交ca的延長線於點f，若ad=3，cf=7，則cd=_______．
d9*、如圖，已知△abc為等邊三角形，點d在邊ac上，點e在邊ab上，且ad=be，點f為線段de的中點，求證：ec=2af.
d10、如圖，已知等邊△oa1b1，頂點a1在雙曲線y=（x＞0）上，點b1的座標為（2，0）．過b1作b1a2∥oa1交雙曲線於點a2，過a2作a2b2∥a1b1交x軸於點b2，得到第二個等邊△b1a2b2；過b2作b2a3∥b1a2交雙曲線於點a3，過a3作a3b3∥a2b2交x軸於點b3，得到第三個等邊△b2a3b3；以此類推，…，則點b6的座標為 ．
d11、如圖所示，四邊形adef為正方形，abcd為等腰直角三角形，d在bc邊上，△abc的面積等於98，bd∶dc＝2∶5．則正方形adef的面積等於
d12**、如圖，△abc中，∠abc＝∠acb＝800，d、e分別是ab、ac上的點，∠dca＝300，∠eba＝200，求∠bed的度數．
五、有關中點
e1、設mn是圓o的弦，過mn的中點a任作兩弦bc、de，設cd、eb分別交mn於p、q．
求證：ap＝aq．
e2、如圖，分別以△abc的ac和bc為一邊，在△abc的外側作正方形acde和正方形cbfg，點p是ef的中點．
求證：點p到邊ab的距離等於ab的一半．
e3、如圖，四邊形abcd為正方形，de∥ac，且ce＝ca，直線ec交da延長線於f．
求證：ae＝af．
e4、如圖，pc切圓o於c，ac為圓的直徑，pef為圓的割線，ae、af與直線po相交於b、d．求證：ab＝dc，bc＝ad．
e5、如圖在△abc中，d、e分別為ab、ac上的點，且bd＝ce，m、n分別是be、cd的中點．過mn的直線交ab於p，交ac於q，線段ap、aq相等嗎?為什麼?
6、四邊形
f1、如圖正方形abcd中，e為ad邊上的中點，過a作af⊥be，交cd邊於f，m是ad邊上一點，且有bm=dm+cd．
（1）求證：點f是cd邊的中點；
（2）求證：∠mbc=2∠abe．
f2、如圖，過銳角△abc的頂點a作de∥bc，ab恰好平分∠dac，af平分∠eac交bc的延長線於點f．在af上取點m，使得am=af，連線cm並延長交直線de於點h．若ac=2，△amh的面積是，則的值是 ．
f3、在平面直角座標系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的「夢想直線」；有乙個頂點在拋物線上，另有乙個頂點在y軸上的三角形為其「夢想三角形」．
已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與其「夢想直線」交於a、b兩點（點a在點b的左側），與x軸負半軸交於點c．（1）如圖，點m為線段cb上一動點，將△acm以am所在直線為對稱軸翻摺，點c的對稱點為n，若△amn為該拋物線的「夢想三角形」，求點n的座標；
（3）當點e在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的「夢想直線」上，是否存在點f，使得以點a、c、e、f為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點e、f的座標；若不存在，請說明理由．
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