第一章三角形的證明
湖北宜昌市長江中學李玉平
本章總體設計介紹
本章是八年級上冊第七章《平行線的證明》的繼續，在「平等線的證明」一章中，我們給出了 8 條基本事實，並從其中的幾條基本事實出發證明了有關平行線的一些結論. 運用這些基本事實和已經學習過的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論.
在這之前，學生已經對圖形的性質及其相互關係進行了大量的探索，探索的同時也經歷過一些簡單的推理過程，已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，從而為本章進一步嚴格證明三角形有關定理打下了基礎.本章所證明的命題都和等腰三角形、直角三角形有關，主要包括：
1.等腰三角形的性質和判定定理；
2.直角三角形的性質定理和判定定理；
3.線段的垂直平分線性質和判定定理；
4.角平分線性質定理和判定定理。
本章教學建議
對於已有命題的證明，教學過程中要注意引導學生回憶過去的探索、說理過程，從中獲取嚴格證明的思路；對於新增命題，教學過程中要重視學生的探索、證明過程，關注該命題與其他已有命題之間的關係；對於整章的命題，注意關注將這些命題納入乙個命題系統，關注命題之間的關係，從而形成對相關圖形整體的認識。
對於證明的方法，除了注重啟發和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，並在比較中選擇適當的方法。
證明過程中注意揭示蘊含其中的數學思想方法，如轉化、歸納、模擬等。
作為初中階段幾何證明的最後階段，教學中應要求學生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規範的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求。
1.等腰三角形（一）
一、學生知識狀況分析
在八年級上冊第七章《平行線的證明》，學生已經感受了證明的必要性，並通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規範，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題，這些都為證明本節有關命題做了很好的鋪墊。
二、學習目標：
1．理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等腰三角形的性質定理；
2．經歷「探索－發現－猜想－證明」的過程，進一步發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力。
3．培養學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣.
三：學習重、難點
重點：探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；
難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等。
三、教學過程分析
學生課前準備：一張等腰三角形紙片（供上課摺疊實驗用）；
教師課前準備：製作好的幾何畫板課件.
本節課設計了六個教學環節：第一環節：回顧舊知匯出公理；第二環節：
摺紙活動探索新知；第三環節：明晰結論和證明過程；第四環節：隨堂練習鞏固新知；第五環節：
課堂小結；第六環節：布置作業。
第一環節：回顧舊知匯出公理
活動內容：提請學生回憶並整理已經學過的8條基本事實中的5條：
1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行；
2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；
3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）；
4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）；
5.三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）；
在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas），並要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質。
活動目的：經過乙個暑假，學生難免有所遺忘，因此，在第一課時，回顧有關內容，既是對前面學習內容的乙個簡單梳理，也為後續有關證明做了知識準備；證明這個推論，可以讓學生熟悉證明的基本要求和步驟，為後面的其他證明做好準備。
活動效果與注意事項：由於有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由於有了乙個暑假的遺忘，可能部分學生的表述未必嚴謹、規範，教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，並規範地寫出證明過程。具體證明如下：
已知：如圖，∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef.
求證：△abc≌△def.
證明：∵∠a=∠d,∠b=∠e（已知），
又∠a+∠b+∠c=180°，∠d+∠e+∠f=180°（三角形內角和等於180°），
∴∠c=180°-(∠a+∠b)，
∠f=180°-(∠d+∠e)，
∴∠c=∠f（等量代換）。
又bc=ef（已知），
∴△abc≌△def（asa）。
第二環節：摺紙活動探索新知
活動內容：在提問：「等腰三角形有哪些性質？
以前是如何探索這些性質的，你能再次通過摺紙活動驗證這些性質嗎？並根據摺紙過程，得到這些性質的證明嗎？」的基礎上，讓學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程。
具體操作中，可以讓學生先獨自摺紙觀察、探索並寫出等腰三角形的性質，然後再以六人為小組進行交流，互相彌補不足。
活動目的：通過摺紙活動過程，獲得有關命題的證明思路，並通過進一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發展，熟悉證明的基本步驟和書寫格式。
活動效果與注意事項：由於有了教師引導下學生的活動，以及具體的摺紙操作，學生一般都能得到有關等腰三角形的性質定理，當然，可能部分學生得到的定理並不全面，在學生小組的交流中，通過同伴的互相補充，一般都可以得到所有性質定理。當然，在教學過程中，教師應注意小組的巡視，提醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關係從而得到「三線合一」。
第三環節：明晰結論和證明過程
活動內容：在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明,其餘學生挑選其一證明.其後，教師通過課件彙總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。
（1）等腰三角形的兩個底角相等；
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合
活動目的：和學生一起完成性質定理的證明，可以讓學生自主經歷命題的證明過程；明晰證明過程，意圖給學生明晰一定的規範，起到一種引領作用；活動2，則是前面命題的直接推論，力圖讓學生形成拓廣命題的意識，同時也是乙個很好的鞏固練習。
第四環節：隨堂練習鞏固新知
活動內容：學生自主完成p4第2題：如圖（圖略）,在△abd中,c是bd上的一點，且ac⊥bd，ac=bc=cd，
（1）求證：△abd是等腰三角形；
（2）求∠bad的度數。
活動目的：鞏固全等三角形判定公理的應用，複習等腰三角形「等邊對等角」的用法。
第五環節：課堂小結
活動內容：讓學生暢談收穫，包括具體結論以及其中的思想方法等。
活動目的：形成及時總結語反思的意識與習慣，提高學生能力。
活動效果與注意事項：教師注意對學生的感想進行適當的引導，並在學生交流的基礎上，明晰部分收穫供學生共享，如：
1、具體有關性質定理；
2、通過摺紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今後解決有關等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據．
3、體會了證明乙個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性．
第六環節：布置作業
p5習題1,2.
四、教學反思
本節關注學生已有活動經驗的回顧過程，關注了 「探索－發現－猜想－證明」的活動過程，關注了學生自主**過程，學生學習的主體性發揮較好，應該說取得了較好的教學效果。當然，在具體活動中，如何在學生活動與規範表達之間形成乙個恰當的平衡，具體各部分時間比例的分配可能還需要根據班級學生具體狀況進行適度的調整。
等腰三角形教學設計
一 教學目標 1 知識與能力目標 掌握等腰三角形的兩條性質。運用等腰三角形的性質進行有關證明和計算。2 過程與方法目標 讓學生體驗等腰三角形是乙個軸對稱性圖形。經歷操作 發現 猜想 證明的過程，培養學生的邏輯思維能力。3 情感 態度 價值觀目標 培養學生協作學習精神，使學生理解事物之間是相互聯絡和運...
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教學目標白帽中心學校汪選 1 知識與技能 1 等腰三角形的概念。2 等腰三角形的性質。3 等腰三角形的概念及性質的應用。2 過程與方法 1 經歷作 畫 出等腰三角形的過程，從軸對稱的角度去體會等腰三角形的特點。2 探索並掌握等腰三角形的性質。3 情感態度與價值觀 學生對圖形的觀察 發現，激發起好奇心...
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