第七章直線和圓的方程
【概念】
一、直線的方程
直線的傾斜角與斜率
1. 直線方程的概念：
以乙個方程的解為座標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的點的座標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線.
2. 直線的傾斜角與斜率：
在平面直角座標系中，對於一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α，那麼α就叫做直線的傾斜角.
傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k表示.
說明：①當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為；
②直線傾斜角的取值範圍是；
③傾斜角是的直線沒有斜率.
3. 斜率公式：
經過兩點、的直線的斜率公式：（x1≠x2）
推導：設直線p1p2的傾斜角是α,斜率是k，向量的方向是向上的（如圖7—3（1）~（2））.向量的座標是.
過原點作向量=，則點p的座標是，而且直線op的傾斜角也是α.根據正切函式的定義，
即（x1≠x2）。 同樣，當向量的方向向上時也有同樣的結論.
4. 斜率公式的形式特點及適用範圍：
①斜率公式與兩點的順序無關，即兩點的縱座標和橫座標在公式中的前後次序可同時顛倒；
②斜率公式表明，直線對於x軸的傾斜程度，可以通過直線上任意兩點座標表示，而不需求出直線的傾斜角；
③斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎，必須熟記，並且會靈活運用;
④當x1=x2,y1≠y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角α等於，沒有斜率.
直線的方程
1. 直線方程的點斜式:
其中為直線上一點座標, k為直線斜率.
推導:若直線l經過點,且斜率為k，求l方程.
設點 p(x,y)是直線上不同於點p1的任意一點,根據經過兩點的直線的斜率公式,得
,可化為.
說明:①這個方程是由直線上一點和斜率確定的;
②當直線l的傾斜角為0°時,直線方程為;
③當直線傾斜角為90°時,直線沒有斜率,它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為:.
2. 直線方程的斜截式:
說明:①b為直線l在y軸上截距；
②斜截式方程可由過點（0，b）的點斜式方程得到；
③當時，斜截式方程就是一次函式的表示形式.
3. 直線方程的兩點式:
其中是直線兩點的座標.
推導:因為直線l經過點，並且，所以它的斜率.代入點斜式,
得,.當.
4. 直線方程的截距式:,其中a,b分別為直線在x軸和y軸上截距.
5. 直線方程的一般式:
其中a、b不同時為0.
6. 直線和二元一次方程的關係
①在平面直角座標系中,對於任何一條直線,都有乙個表示這條直線的關於x,y的二元一次方程.
因為在平面直角座標系中,每一條直線都有傾斜角,在α≠90°和α=90°兩種情況下,直線的方程可分
別寫成及這兩種形式.它們又都可變形為的形式,且a、b不同時為0.
②在平面直角座標系中,任何關於x、y的二元一次方程都表示一條直線.
因為x、y的二元一次方程的一般形式是,其中a、b不同時為0,在b≠0和b=0的兩種情況下,一次方程可分別化成直線的斜截式方程和表示與y軸平行或重合的直線方程.
兩條直線的位置關係
1．直線到的角
兩條直線和相交構成四個角,它們是兩對對頂角,我們把直線按逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角,叫做到的角.
在圖7—13中,直線到的角是θ1, l2到的角是θ2.
2．直線到的夾角:
如圖7—13,到的角是θ1,到的角是π-θ1,當與相交但不垂直時,θ和π-θ僅有乙個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角.
當直線⊥時,直線l1和l2的夾角是.
說明:θ1＞0,θ2＞0,且θ1+θ2=π
3．直線l1到l2的角的公式:.
推導:設直線l1到l2的角θ，.
如果如果,設l1、l2的傾斜角分別是α1和α2，則.
由圖（1）和圖（2）分別可知
於是.4．直線l1和l2的夾角公式:.
這一公式由夾角定義可得.
5．兩直線是否相交的判斷:
設兩條直線的方程是
如果這兩條直線相交,由於交點同時在這兩條直線上,交點的座標一定是這兩個方程的唯一公共解,那
麼以這個解為座標的點必是直線l1和l2的交點,因此,兩條直線是否有交點,就要看這兩條直線方程所組成的方程組是否有唯一解.
6．在平面直角座標系中,如果已知某點p的座標為(x0,y0),直線l的方程是,怎樣由點的
座標和直線的方程直接求點p的直線l的距離呢?
方案一:
根據定義,點p到直線l的距離d是點p到直線l的垂線段的長(如右圖).
設點p到直線l的垂線段為pq,垂足為q,由pq⊥l可知直線pq的斜率為,根據點斜式可寫出直線pq的方程,並由l與pq的方程求出點q的座標;由此根據兩點距離公式求出,得到點p到直線l的距離d.
師：此方法雖思路自然，但運算較繁. 下面介紹另一種求法.
方案二:
設a≠0,b≠0,這時l與x軸、y軸都相交,過點p作x軸的平行線,交l於點r(x1,y0);作y軸的平行線,交l於點s(x0,y2),由
所以,由三角形面積公式可知:
所以,.
可證,當a=0或b=0時,以上公式仍適用,於是得到點到直線的距離公式:.
二、圓的方程
1．圓的標準方程：
其中圓心座標為（a,b），半徑為r
推導：如圖7—32，設m（x,y）是圓上任意一點，根據定義，點m到圓心c的距離等於r,所以圓c就是集合由兩點間的距離公式，點m適合的條件可表示為
把①式兩邊平方，得
2．圓的一般方程：
（＞0）
3．二元二次方程表示圓的充要條件：
由二元二次方程的一般形式：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
和圓的一般方程的係數比較，啟發學生歸納如下結論：
（1）x2和y2的係數相同，且不等於0，即a=c≠0；
（2）沒有xy項，即b=0；
（3）d2+e2－4af＞0.
4．引數方程與普通方程：
一般地，在取定的座標系中，如果曲線上任意一點的座標x、y都是某個變數t的函式，即
.並且對於t的每乙個允許值，由方程組所確定的點m（x,y）都在這條曲線上，那麼方程組就叫這條曲線的引數方程.其中t叫參變數，簡稱引數.
相對於引數方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的座標關係的方程，叫曲線的普通方程.
說明：引數方程中的引數可以有物理、幾何意義，也可以沒有明顯意義.
（1）圓的引數方程：
①圓心在原點，半徑為r的圓的引數方程：
推導：設圓o的圓心在原點，半徑是r,圓o與x軸的正半軸的交點是p0（圖7—36）
設點在圓o上從點p0開始按逆時針方向運動到達點p，∠p0op=θ，若點p座標為（x,y）,根據三角函式的定義，可得
即②圓心為(a,b)，半徑為r的圓的引數方程：
（θ為引數）
推導：圓心為o1（a,b）、半徑為r的圓可以看成由圓心為原點o、半徑為r的圓按向量=（a,b）平移得到.
即對於圓o上任意一點p1（x1,y1）,在圓o1上必有一點p（x,y），使
因為，即（x,y）=(x1，y1)+（a,b）
所以，由於點p1（x1,y1）在以原點為圓心，r為半徑的圓上，所以存在引數θ，使
所以.（2）圓的引數方程化普通方程：
方程組由①得 x－a=rcosθ ③
由②得 y－b=rsinθ ④
③2+④2得：（x－a）2+(y－b)2=r2
即圓的普通方程.
三、簡單的線性規劃
1．二元一次不等式表示平面區域:
一般地,二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域.
說明:①二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角座標系中表示直線ax+by+c=0某一側所有點組成的平面區域且包括邊界;
②作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.
推導:舉例說明.
2．判斷二元一次不等式表示哪一側平面區域的方法:
方法:取特殊點檢驗;
原因:由於對在直線ax+by+c=0的同一側的所有點(x,y),把它的座標(x,y)代入ax+by+c,所得到的實數的符號都相同,所以只需在此直線的某一側取乙個特殊點(x0,y0),從ax0+by0+c的正負即可判斷ax+by+c>0表示直線哪一側的平面區域.特殊地,當c≠0時,常取原點檢驗.
3．線性規劃的有關概念：
①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變數x、y的約束條件，這組約束條件都是關於x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．
②線性目標函式：
關於x、y的一次式z=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式，叫線性目標函式．
③線性規劃問題：
一般地，求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．
④可行解、可行域和最優解：
滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解組成的集合叫做可行域．
使目標函式取得最大或最小值的可行解叫線性規劃問題的最優解．
4．線性規劃在實際中的應用：
例：要將兩種大小不同的鋼板截成ａ、ｂ、ｃ三種規格，每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示：
今需要a、b、c三種規格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規格成品，且使所用鋼板張數最少？
解：設需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
作出可行域（如右圖）：（陰影部分）
目標函式為z=x+y
作出一組平行直線x+y=t,其中經過可行域內的點且和原點距離最近的直線，經過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點a（），直線方程為x+y=.
由於都不是整數，而最優解（x,y）中，x,y必須都是整數，可行域內點（）不是最優解.
經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x+y=12,經過的整點是b(3,9)和c(4,8),它們都是最優解.
答:要截得所需三種規格的鋼板,且使所截兩種鋼板的張數最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張.
第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.
【例題】
例1：如右圖，直線l1的傾斜角，直線、l2的斜率.
解： 例2：求經過a（－2，0）、b（－5，3）兩點的直線的斜率和傾斜角.
高中解析幾何總結
百科名片 圓錐曲線 圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線。其統一定義 到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當01時為雙曲線。圓錐曲線的由來 兩千多年前，古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線，並且獲得了大量的成果。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直於...
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...
解析幾何 原稿
1 2006年全國聯賽題 給定整數n 2,設是拋物線與直線的乙個交點，試證明 對於任意正整數m，必存在整數k 2,使為拋物線與直線的乙個交點。p52 證明因為與的交點為顯然有若為拋物線與直線的乙個交點，則記則 1 由於是整數，也是整數，所以根據數學歸納法，通過 1 式可證明 對於一切正整數是正整數。...