文科圓錐曲線
知識歸納：
拋物線：
2023年廣東高考文科卷
20. 在平面直角座標系中，已知橢圓:（）的左焦點為,且點在上.
（1） 求橢圓的方程；
（2） 設直線同時與橢圓和拋物線:相切，求直線的方程.
解：（1）因為橢圓的左焦點為，所以，
點代入橢圓，得，即，
所以所以橢圓的方程為.
（2）直線的斜率顯然存在，設直線的方程為，
，消去並整理得
因為直線與橢圓相切，所以
整理得 ①
，消去並整理得
因為直線與拋物線相切，所以
整理得 ②
綜合①②，解得或
所以直線的方程為或
2023年廣東高考文科卷
8.設圓c與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則c的圓心軌跡為( )
a．拋物線 b．雙曲線
c．橢圓 d．圓
答案為：a
動圓圓心c到定點(0，3)的距離與到定直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的定義，故選a項．
14. (座標系與引數方程選做題)已知兩曲線引數方程分別為和 (t∈r)，它們的交點座標為________．
答案為：(1，)
解析：由兩曲線引數方程消去x，y，t得
，由此得.
又∵0≤θ＜π，∴解得.∴.∴.
故交點座標為(1，)．
19（理科）.設圓c與兩圓，中的乙個內切，另乙個外切．
（1）求c的圓心軌跡l的方程；
（2）已知點，f(，0)，且p為l上動點．求||mp|－|fp||的最大值及此時點p的座標．
解：（1）兩圓的圓心分別為a(，0)，b(，0)，半徑為2，設圓c的半徑為r.由題意得|ca|＝r－2，|cb|＝r＋2
或|ca|＝r＋2，|cb|＝r－2，
兩式相減得|ca|－|cb|＝－4或|ca|－|cb|＝4，
即||ca|－|cb||＝4.
則c的軌跡為雙曲線，其中2a＝4，c＝，b2＝1
∴圓c的圓心軌跡l的方程為.
（2）由(1)知f為雙曲線l的乙個焦點，如圖，
連mf並延長交雙曲線於一點p，此時|pm|－|pf|＝|mf|為||pm|－|fp||的最大值．
又mf的方程為即代入x2－4y2＝4並整理得，解得x＝或x＝，顯然x＝為點p的橫座標，
點p的縱座標為.
即||mp|－|fp||的最大值為2，此時點p的座標為．
2023年廣東高考文科卷
7.若乙個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是( )
a. b.
c. d.
答案為：b
由2a,2b,2c成等差數列，所以2b＝a＋c.
又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝4(a2－c2)．
所以a＝c.所以e＝＝.
15. (座標系與引數方程選)在極座標系(ρ,θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點的極座標為
答案為：(1，)
解析：由ρ(cosθ＋sinθ)＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1，
得，又因ρ≠0，所以，即.
所以交點極座標為(1，)．
21.已知曲線cn：y＝nx2，點pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲線cn上的點(n＝1,2，…)．
(1)試寫出曲線cn在點pn處的切線ln的方程，並求出ln與y軸的交點qn的座標；
(2)若原點o(0,0)到ln的距離與線段pnqn的長度之比取得最大值，試求點pn的座標(xn，yn)；
解：(1)∵(nx2)′＝2nx，
∴曲線cn過點pn(xn，yn)的切線ln的方程為，
即.令x＝0，得，
∴qn的座標為(0，)．
(2)原點o(0,0)到ln的距離為，
.，即時，取得最大值.
故所求pn的座標為(，)．
2023年廣東高考文科卷
15. 選做題(（1）、（2）題,考生只能從中選做一題)
（1）（座標系與引數方程選做題）若直線（t為引數）與直線4x+ky＝1垂直,則常數k
（1）-6
解析:直線的普通方程為3x+2y-7＝0, .
直線4x+ky＝1的斜率,
∵兩直線垂直,∴k1·k2＝-1.
∴k＝-6.
20. (2009廣東,文19)已知橢圓g的中心在座標原點,長軸在x軸上,離心率為,兩個焦點分別為f1和f2,橢圓g上一點到f1和f2的距離之和為12,圓ck:x2+y2+2kx-4y-21＝0(k∈r)的圓心為點ak.
(1)求橢圓g的方程;
(2)求△akf1f2的面積;
(3)問是否存在圓ck包圍橢圓g?請說明理由.
解:(1)設橢圓g的方程為 (a＞b＞0),半焦距為c,
則解得∴b2＝a2-c2＝36-27＝9.
所求橢圓g的方程為.
(2)點ak的座標為(-k,2),
.(3)若k≥0,由62+02+12k-0-21＝15+12k＞0,可知點(6,0)在圓ck外;
若k＜0,由(-6)2+02-12k-0-21＝15-12k＞0,可知點(-6,0)在圓ck外,
∴不論k為何值,圓ck都不能包圍橢圓g.
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