代數部分：
例1、-4的絕對值
a. 4 b. -4 c. d.
例2、已知+=0，則3++1
例3、解方程組：
例4、 解不等式： 2－>y－;
例5、如果關於的方程有兩個相等的實數根，那麼
例6、若關於的一元二次方程有實數根，則的取值範圍是 ( )
且k≠0 且k≠0d
例7、不解方程判別方程的根的情況是（ ）
a．有兩個相等實數根b．有兩個不相等的實數根；
c．只有乙個實數根d．沒有實數根
例8、在平面直角座標系中，直線與直線關於軸對稱，直線與反比例函式的圖象的乙個交點為, 試確定反比例函式的解析式．
例9、為何值時，是完全平方式.
例10、按如圖所示的規律擺放三角形：
則第（4）堆三角形的個數為_______；第(n)堆三角形的個數為_______.
例11、求的值為多少，可以採用如下方法：.
設，則，
∴，即=.
請仿照上述方法，求的值.
例12、如圖，中，的角平分線與的
外角的平分線交於點，的角平分線與
的角平分線交於點，的角平分線與
的角平分線交於點.
（1）已知，求的度數；
（2）已知，則= ；（3
（4）如圖，中，的兩外角平分線交於點，
的角平分線與的角平分線交於點，
的角平分線與的角平分線交於
點，… ,則= （用含和的式子表示）.
例13、
例14、若代數式在取得最大值時，代數式的值為 .
例15、如果，那麼
例16、已知：是實數，且，解關於的方程.
例17、已知3是關於的方程的乙個根，且,則= .
例18、已知關於 x 的方程 kx2 + ( 2k – 1 )x + k – 1 = 0 只有整數根，求整數 k 的值.
例19、若關於x的方程x2-x+m=0和(m+1)x2-2x-1=0都有兩個不相等的實數根，求m的整數值．
例20、等腰△abc中，bc=8,ab、ac的長是關於的方程的兩根，
則的值是多少？
例21、等腰△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別是、、，已知，、
是關於的方程的兩個實數根，求△abc的周長.
例22、已知關於的方程①的兩個不相等的實數根中有一根為0，是否存在非正整數，使得關於的方程② 有整數根？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
例23、已知，直線與雙曲線（k≠0）的乙個交點為（1，2）.
（1）求直線與雙曲線的解析式；
（2）設直線與y軸交於點a，
若將直線繞點a旋轉90°，此時直線與雙曲線是否有交點？
若有，請求出交點座標；若沒有，請說明理由.
幾何部分
一、對比、**
例24、如圖4是某一立方體的側面展開圖，則該立方體是（ ）
例25、如圖是乙個正方體紙盒，在其中的三個面上各畫一條線段構成△abc，且a、b、c分別是各稜上的中點．現將紙盒剪開展成平面，則不可能的展開圖是（ ）
例26、如圖，一把矩形直尺沿直線斷開並錯位，點e、d、b、f在同一條直線上，
若∠ade=125°, 則∠dbc的度數為（ ）
a．55° b．65° c．75° d．125°
例27、已知：如圖，梯形abcd中，ad∥bc，
bd平分∠abc，∠a=120°，bd=bc=，
（1）求證：ab=ad；（2）求△bcd的面積.
例28.如圖，ad∥bc, be⊥dc, ∠a=90°,
ad∶bc = 1∶4,且ab=bc,
求：cot∠abe的值
例29.已知：如圖，四邊形abcd中，∠a=∠c=90°，
∠d=120°，bc=2，ad=1，
求：四邊形abcd的周長.
例30、如圖,小明將一塊邊長為的正方形紙片摺疊成領帶形狀，其中，
b點落在cf邊上的處，則的長為
例31、如圖，線段ab經過圓心o，交⊙o於a、c兩點，
點d在⊙o上，∠a＝∠b＝30°.
（1）求證：bd是⊙o的切線；
（2）若點n在⊙o上，且dn⊥ab，垂足為m， nc=10，求ad的長.
例32、已知:如圖,矩形abcd中,
ce平分∠dcb交ad於e,
f為cd上一點,且be⊥ef.
求證:be=ef.
例33、如圖，正方形abcd中，點e是對角線bd上一點，
鏈結ec，ef⊥ec，垂足為e，ef交ab於f，試說明ef=ce．
例34、（2023年諸暨中學提前招生選拔考試）
如圖，點a在y軸上，點b在x軸上，且oa=ob=1，經過原點
o的直線l交線段ab於點c，過c作oc的垂線，與直線x=1
相交於點p，現將直線l繞o點旋轉，使交點c從a向b運動，
但c點必須在第一象限內，並記ac的長為t，分析此圖後，
對下列問題作出**：
（1）當△aoc和△bcp全等時，求出t的值;
（2）通過動手測量線段oc和cp的長來判斷它們之間的大小關係？
並證明你得到的結論;
（3）①設點p的座標為（1,b）,試寫出b關於t的函式關係式和變數t的取值範圍.
②求出當△pbc為等腰三角形時點p的座標.
例35、已知：如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上一點，延長
ac到e，使ce=bd，連de交bc於f，求證：df=ef.
例36、已知：如圖，在△abc中，∠b=60°,ad、ce分別平分∠bac、
∠acb,且相交於點g，ad交bc於點d，ce交ab於e.
求證：ac=ae+cd.
例37、如圖，△abc是邊長為1的等邊三角形，△bdc是頂角
∠bdc=120°的等腰三角形，以d為頂點作乙個60°的角，
使角的兩邊分別交ab於m，交ac於n,鏈結mn形成△amn，
則△amn的周長為
例38、（旅順06）操作：如圖①，△abc是正三角形，△bdc是頂角∠bdc＝120°的等腰三角形，以d為頂點作乙個60°角，角的兩邊分別交ab、ac邊於m、n兩點，連線mn．
**：線段bm、mn、nc之間的關係，並加以證明．
說明：⑴如果你經歷反覆探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；⑵在你經歷說明⑴的過程之後，可以從下列①、②中選取乙個補充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選取②完成證明得5分．
①（如圖②）；②（如圖③）．
附加題：若點m、n分別是射線ab、ca上的點，其它條件不變，再探線段bm、mn、nc之間的關係，在圖④中畫出圖形，並說明理由．
例39、如圖，在中有、兩點，
求證：例40（深圳）、已知△abc是邊長為4的等邊三角形，bc在x軸上，點d為bc的中點，點a在第一象限內，ab與y軸的正半軸相交於點e，點b（-1，0），p是ac上的乙個動點（p與點a、c不重合）
（1）求點a、e的座標；
（2）若y=過點a、e，求拋物線的解析式．
（3）鏈結pb、pd，設l為△pbd的周長，當l取最小值時，
求點p的座標及l的最小值，並判斷此時點p是否在（2）中
所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．
例41. （南京）已知矩形紙片abcd，ab=2，ad=1，
將紙片摺疊，使頂點a與邊cd上的點e重合.
(1)如果摺痕fg分別與ad、ab交與點f、g(如圖1)，，求de的長；
(2)如果摺痕fg分別與cd、ab交與點f、g(如圖2)，△aed的外接圓與直線bc相切，
求摺痕fg的長．
例42、如圖,在平面直角座標系中,rt△aob的頂點座標分別為a(-2,0),
o(0,0),b(0,4),把△aob繞點o按順時針方向旋轉,得到△cod.
（1）求c、d兩點的座標；
（2）求經過a、b、d三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線的對稱軸上取兩點e、f
(點e在點f的上方)，且ef=1,使四邊形acef 的周長最小，
求出e、f兩點的座標.
例43、如圖11-①，平面直角座標系xoy中有點b（2，3）和c（5，4），求△obc的面積.
解：過點b作bd⊥x軸於d，過點c作ce⊥x軸於e.依題意,可得
s△obc = s梯形bdec + s△obd- s△oce
==×(3+4) ×(5-2)+×2×3-×5×4=3.5. ∴△obc的面積為3.5.
（1） 如圖11-②，若b（x1，y1）、c（x2，y2）均為第一象限的點，o、b、c三點不在同一條直線上. 仿照例題的解法,求△obc的面積（用含x1、x2、y1、y2的代數式表示）；
（2） 如圖11-③，若三個點的座標分別為a（2,5），b（7,7），c（9,1），求四邊形oabc的面積.
圖11圖11圖11-③
例44、如圖，在平面直角座標系xoy中，直線分別交x軸、y軸於c、a兩點.將射線am繞著點a順時針旋轉45°得到射線an.點d為am上的動點，點b為an上的動點，點c在∠man的內部.
（1） 求線段ac的長；
（2） 當am∥x軸，且四邊形abcd為梯形時，求△bcd的面積；
（3） 求△bcd周長的最小值；
（4） 當△bcd的周長取得最小值，且bd=時,△bcd的面積為 .
（第（4）問只需填寫結論，不要求書寫過程）
例45、如圖，在rt△abc中，∠abc=90°，ab=6，bc=8，
以ab為直徑的⊙o交ac於d，e為bc的中點，
（1）求線段cd的長；
（2）求證：de是⊙o的切線.
例46、（07襄樊）如圖，在平面直角座標系中，點的座標為（4，0），點的座標為（0，8），
點是的中點，直線與以為直徑的⊙b相交於點，鏈結．
（1）試判斷：直線與⊙b的位置關係．為什麼？
（2）若過兩點的拋物線的解析式為，試確定的值；
初三數學總複習
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