一、單項選擇題（每小題4分，共24分）
1、已知，則有 （b）
a 乙個實根 b 兩個實根
c 三個實根 d 無實根
解：（1）
在滿足羅爾定理條件
故有（）
綜上所述，少有兩個實根，至多有兩個根，故選ｂ
2．下列函式在所給區間滿足羅爾定理條件的是d）
a bc d解： ，
滿足羅爾定理條件．故選 d
3．設曲線，則其拐點座標為（c）
a 0 b（0，1）
c（0，0） d 1
解：．令．得．
．當時，．
故（0，0）為曲線的拐點 c
4．若內
必有（c
a bc d解： 凹弧
如示意圖，故有
5．設在取得極值。則為．．．（ｂ）
a b
c d
解：⑴①
⑵②①—②得①
得答案選ｂ
6．下列命題中正確的是b）
a為極值點，則必有
b 若在點處可導，且為的極值點，則必有
c 若在（）有極大值也有極小值則極大值必大於極小值。
d 若則點必有的極值點。
解：可導函式的極值點一定是駐點，故有=0 選b
二、填空題（每小題4分，共24分）
7．設可導，且的極小值。則
解：原式=
8．的單調增加區間為
解：（1）定義域（2）
當09．的極小值是
解：（1）
（2）令，駐點．是不可導點
（3）極小值
10．的最大值為 1
解：（1）是的不可導點。
（2）（3）最大值為
11．曲線的水平漸進線為＿＿
解： ∴直線是曲線的一條水平漸進線
12．函式在[1，2]滿足拉格朗日中值定理條件的
解：（1）—=
（2）三、計算題（每小題8分，共64分）
13.已知在區間滿足拉格朗日中值定理條件，求
解：，14．求函式的單調區間
與極值。
解：（１）
駐點，的不可導點
（2）（3）極大值，極小值，在單調減
在單調增
15 求由方程所確定
的極值。
解：（1）求駐點：
令→駐點
（2）判別極值點
當時代入上式
2+0+0+0+
=為極大值點，
（3）極大值
16．求在區間[，4]
上的最大值，最小值。
解：（ 1）
令， 為不可導點
（2）∵
（3）比較上述函式的大小
最小值為 ，最大值為 0
17．求曲線的凹凸區間與拐點。
解：（1）定義域（--∞，+∞）
（2）令得；不存在的點為
（3）列表
答：拐點（0，）及（1，）；，
為凹區間，（0，1）為凸區間。
18．求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。
解：（1）是曲線的一條水平漸近線。
（2）是曲線的另一條水平漸近線
（3）∵
為曲線的一條垂直漸近線
19．判別函式在的單調性。
解：（1）
（２）令
且（3）
在單調減。
20．設確定單調的區間。
解：（1）
故有為駐點
（2）當時，
時，（3）除外，．在單調增加。
四、綜合題（每小題10分，共２０分）
21 已知函式的圖形上有一拐點（2，4），在拐點處曲線的切線斜率為，而且該函式滿足，求此函式
解（1）已知；
（2）求常數
， （3）求： ， 由
（4）求函式y:
答：所求函式y=
22 利用導數描繪的圖形
解：（1）定義域，非奇非偶函式
（2）求駐點和的點
，令，駐點
，令，得
（3）列表
極大值，拐點
（4）漸近線與函式變化趨勢
是曲線的一條水平漸進線，
（5）描點作圖
當時五、證明題（每小題9分，共18分）
23 設
存在且單調增加，證明當時單調增加
證明：1）令
當時，單調增加
故有單調增加
24 設證明，
證明：1）構造輔助函式：
（2）且
由羅爾定理知
＊ 選做題
證明方程：恰有一實根，其中常數，且
證明：（1）令
且(4)綜上所述：有且僅有乙個實根
1．當時,證明成立.
證：(1)變形:,這是對數函式的增量形式
令(2)在應用拉格朗日中值定理:
(3)故有證畢！
2．證明:成立
證：(1)構造輔助函式,
令 (2)在應用拉格朗日定理:
(3) 對於的情形,同理可證.
證畢3．證明:當時,有成立.
證：(1) 構造輔助函式：
∴令(2)在應用拉格朗日中值定理,
(3)是單調增函式
，故有,
證畢4．當時,證明成立.
證：(1)令
(2)在單調減少
(3)在單調減少,且
故當時,
證畢5．當時,證明成立.
證：(1)變形,
令(2) 令且
從而在單調減少
(3)∵且=0
即有成立
6．當時,證明成立.
證：(1)變形，令
(2)(一階導數符號不易判定,借助)=且
單調增加
(3)在單調增,且,故有
證畢7．當時,證明:成立.
解：(1)令
(2)令,駐點
(3) ，為極小值點.
由單峰原理,是最小值點
最小值故有,即
證畢8．設,證明
成立.證：(1)令
(2)駐點(3)
(4)比較上述函式值的大小:
故有,即
證畢9．證明:當時,有.
證：(1)令
(2),在單調增加
(3)由,得從而有證畢
二、證明方程根的個數
10．證明:當時,方程僅有乙個實根.
證：(1)令
單調增,故最多有乙個實根
(2)是一元五次方程
至少有乙個實根
(3)綜上所述:有且只有乙個實根. 證畢
11．證明方程只有乙個正根.
證(1)
單調增故最多有一實根
(2)在連續且
∴由零點定理知:
至少有乙個正根.
（3）綜上所述:有且僅有乙個正根
12．證明方程:
有且僅有兩個實根.
解：(1)令
在連續且
∴由零點定理知:
在至少有乙個實根
同理: =0在至少有一實根
總之, =0在至少有兩個實根
(2) =0是一元二次方程,最多有兩個
實根．(３)綜上所述： =0有且僅有兩個實根
13．設常數
證明方程,在內有且僅有兩個正根.
證：(1)令(x>0)
(2) ;令
駐點<0,
為極大值點.
由單峰原理:是最大值點
最大值且,
故與軸有且僅有兩個交點
(如示意圖)
即在有且只有兩個實根.
三、 應用題（每小題10分，共50分）
14．已知曲線.
（1）求曲線在橫座標為的點處的切線方程.
（2）求曲線的切線被兩座標軸所截線段的最短長度.
解：(1)求切線方程:切點
切線方程:
即(2)令
令(3)
令(4)
最小值15．在半徑為r的半徑內作乙個圓柱體,求最大體積時的底半徑與高.
解：(1)畫出示意圖
(2)依題意,設所求圓柱體體積為v
(3)求駐點
,令,,駐點
（4）求最值點:
,為最大值點
答:當,時,所得圓柱體體積最大
16．某客輪每小時消耗燃料的費用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設水流速度為每小時公里,求客輪最經濟的速度?
解：(1)列出函式關係式:設從甲城沿江到乙城的路程為.消耗總費用為.依題意:
,其中是甲城到乙城所需要的時間
(2)求駐點:
令,駐點
(3)求最值:由實際問題的意義知道:
最小值存在,且駐點唯一,當時,
客輪消耗燃料總費用最省.
17．欲做乙個容積是3000的無蓋圓柱形的蓄水池,已知池底單位面積造價為池壁單位面積的3倍,問蓄水池的尺寸怎樣設計,才能使總造價最低?
解：(1)列出函式關係式:設池底半徑為,池高為,池壁單位面積造價為元,總造價為,依題意:
(2) 求駐點:
令,駐點
(3) 求最值:
,當時,總造價最省.
(4) 當時,
答:當時,總造價最低.
18．從一塊半徑為r的圓鐵片上挖去乙個扇形,把留下的中心角為取多大時,做成的漏斗的容積最大?
解：(1)列出函式關係式:設漏斗體積為v
依題意:,
,(2) 求駐點
令=0.
,駐點又
(3) 求最值
由實際問題意義知道:漏斗最大容積存在,且駐點唯一,當時,漏斗的容積最大.
一、單項選擇題(每小題4分,共24分)
1．設是在上的乙個原函式,且為奇函式,則是 ( )
a ．偶函式 b． 奇函式
c． 非奇非偶函式 d．不能確定
解:可導奇函式的導函式必為偶函式.
必為偶函式.選a
2．已知的乙個原函式為,的乙個原函式為,則的乙個原函式為 ( )
ab．cd ．
解:(1),
(2)選b3．設為連續導函式,則下列命題正確的是 ( )
a．b ．
c．d． 解:
選a 4．設且
,則=( )
a ． b．
c． d ．
解：(1)
(2)且得,選a
5．設是的乙個原函式,則
( )
ab．cd．解：(1)
原式=(2)
(3) 原式= 選d
6．設,則=( )
ab．cd．
解：(1)
(2)(3)原式= 選c
二、填空題
7．若是的乙個原函式,則
解：(1)
(2)8．設的乙個原函式為
,則解： 故
9．若,則
解： 原式=
10 解：原式=
或11．若,則
解：原式=
12．若,則
解： 三、計算題
13．解:原式=
14．解:原式=
=15．
解:原式=
16．解:原式=
17．解:原式=
18．解:令
原式==
19．解:令原式=
=20．
解:令原式=四、綜合題（每小題10分，共20分）
21．解:(倒代換)令
原式=(注:(三角代換)令
,原式=
)22．
解:令原式==五、 證明題（每小題9分，共18分）
23．設是的乙個原函式,且, ,
證明:證:
,由,得
24．設是的乙個原函式，是的乙個原函式且
證明:或
證:(1)
(2)討論,若,即
由,得故有若,即
,由,得
故有證畢
選做題1．
解:原式=
選做題2．
解:原式=
選做題3．
解:原式=
高等數學練習題目專轉本
高等數學2 期末複習題 試卷結構 滿分100分，附加題20分，總分120分，考試時間100分鐘.第 卷 必做題，共40分 a班 b班和c班必須完成.第 卷 選做題，共60分 按要求選做，否則作答題目答案無效.第 卷 附加題，共20分 選自江蘇省 專轉本 統一考試試題.自由選做.第 卷 單選題共16個...
專公升本數學學習心得
一.在學習之前需要預習課本 預習階段 了解本次考試的各個章節的權重分清楚側重點。比如 一般按照極限 導數 積分微分 微分方程，無窮級數等等。二.務必記住一些常用的公式，定義，定理。比如 兩個重要極限以及推廣變形。這個以題目的型別出現。拉格朗日，羅爾，積分和微分中值定理介值定理等等。這個是必考一般來說...
預備數學應用題期末專訓
預備班姓名 1 27 甲以每小時40千公尺的速度由a地行駛到b地，如果以比原速度多25 的速度行駛，則甲花了原來時間的多36分鐘到達b地，求甲原來需要行駛的時間與a b兩地間的距離 解 28 某生產教具的廠家準備生產正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成 一條稜用一根塑料棒，乙個頂點由乙個金屬球鑲嵌 ...