一、填空題
1. (20+4)
2.19 cm， 5cm.
3. 4.
5. 5
6. 4
7． 平行、相交或異面
8. 30°
9. 10.
11. ①②④
12. 0
13. ①②③
14.③
15.④
16. ②
二、解答題
17.在四面體abcd中，cb=cd，ad⊥bd，且e，f分別是ab，bd的中點，求證：
（1）直線ef∥平面acd;
（2）平面efc⊥平面bcd.
證明 (1)∵e,f分別是ab,bd的中點,
∴ef是△abd的中位線,∴ef∥ad.
∵ef平面acd,ad平面acd,
∴直線ef∥平面acd.
(2)∵ad⊥bd,ef∥ad,∴ef⊥bd.
∵cb=cd,f是bd的中點,
∴cf⊥bd.又ef∩cf=f,
∴bd⊥平面efc.
∵bd平面bcd,
∴平面efc⊥平面bcd.
18.乙個多面體的直觀圖和三檢視（正檢視、左檢視、俯檢視）如圖所示，m、n分別為a1b、b1c1的中點.求證：
（1）mn∥平面acc1a1；
（2）mn⊥平面a1bc.
證明由題意可知，這個幾何體是直三稜柱，
且ac⊥bc，ac=bc=cc1.
（1）連線ac1，ab1.
由直三稜柱的性質得aa1⊥平面a1b1c1，
所以aa1⊥a1b1，則四邊形abb1a1為矩形.
由矩形性質得ab1過a1b的中點m.
在△ab1c1中，由中位線性質得mn∥ac1，
又ac1平面acc1a1，
mn平面acc1a1，
所以mn∥平面acc1a1.
（2）因為bc⊥平面acc1a1，ac1平面acc1a1，
所以bc⊥ac1.
在正方形acc1a1中，a1c⊥ac1.
又因為bc∩a1c=c，
所以ac1⊥平面a1bc.
由mn∥ac1，得mn⊥平面a1bc.
19.如圖所示，在三稜錐p—abc中，pa⊥底面abc，△abc為正三角形，
d、e分別是bc、ca的中點.
（1）證明：平面pbe⊥平面pac；
（2）如何在bc上找一點f，使ad∥平面pef？並說明理由.
（1）證明因為pa⊥底面abc，所以pa⊥be.
又因為△abc是正三角形，且e為ac的中點，
所以be⊥ca.
又pa∩ca=a，所以be⊥平面pac.
因為be平面pbe，所以平面pbe⊥平面pac.
（2）解取cd的中點f，則點f即為所求.
因為e、f分別為ca、cd的中點，所以ef∥ad.
又ef平面pef，ad平面pef，
所以ad∥平面pef.
20 、如圖所示，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是∠dab=60°且邊長為a的菱形，側面pad為正三角形，其所在平面垂直於底面abcd，若g為ad邊的中點，
（1）求證：bg⊥平面pad；
（2）求證：ad⊥pb；
（3）若e為bc邊的中點，能否在稜pc上找到一點f，使平面def⊥平面abcd，並證明你的結論.
（1）證明在菱形abcd中，∠dab=60°，g為ad的中點，所以bg⊥ad，
又平面pad⊥平面abcd，
平面pad∩平面abcd=ad，
所以bg⊥平面pad.
（2）證明連線pg，因為△pad為正三角形，
g為ad的中點，得pg⊥ad，由（1）知bg⊥ad，
pg平面pgb，bg平面pgb，pg∩bg=g，
所以ad⊥平面pgb，因為pb平面pgb，
所以ad⊥pb.
（3）解當f為pc的中點時，
滿足平面def⊥平面abcd.證明如下：
取pc的中點f，連線de、ef、df，
在△pbc中，fe∥pb，在菱形abcd中，
gb∥de，而fe平面def，de平面def，
ef∩de=e，所以平面def∥平面pgb，
因為bg⊥平面pad，所以bg⊥pg
又因為pg⊥ad，ad∩bg=g，
∴pg⊥平面abcd，而pg平面pgb，
所以平面pgb⊥平面abcd，
所以平面def⊥平面abcd.
21、如圖所示，在四稜錐p—abcd中，底面為直角梯形，ad∥bc，∠bad=90°，pa⊥底面abcd，且pa=ad=ab=2bc，m、n分別為pc、pb的中點.
（1）求證：pb⊥dm；
（2）求bd與平面admn所成的角.
（1）證明 ∵n是pb的中點，pa=pb，
∴an⊥pb.∵∠bad=90°，∴ad⊥ab.
∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ad.
∵pa∩ab=a，∴ad⊥平面pab，∴ad⊥pb
又∵ad∩an=a，∴pb⊥平面admn.
∵dm平面admn，∴pb⊥dm
（2）解連線dn，
∵pb⊥平面admn，∴∠bdn是bd與平面admn所成的角在rt△bdn中，sin∠bdn
∴∠bdn=30°,
即bd與平面admn所成的角為30
22、如圖所示，直三稜柱abc—a1b1c1中，b1c1=a1c1，ac1⊥a1b，m、n分別是a1b1、ab的中點.
（1）求證：c1m⊥平面a1abb1；
（2）求證：a1b⊥am；
（3）求證：平面amc1∥平面nb1c；
（4）求a1b與b1c所成的角.
（1）證明由直稜柱性質可得aa1⊥平面a1b1c1，
又∵c1m平面a1b1c1，∴aa1⊥mc1.
又∵c1a1=c1b1，m為a1b1中點，∴c1m⊥a1b1.
又a1b1∩a1a=a1，∴c1m⊥平面aa1b1b.
（2）證明由（1）知c1m⊥平面a1abb1，
∴c1a在側面aa1b1b上的射影為ma.
∵ac1⊥a1b，mc1⊥a1b，mc1∩ac1=c1，
∴a1b⊥平面amc1，又am平面amc1，∴a1b⊥am.
（3）證明、由稜柱性質知四邊形aa1b1b是矩形，
m、n分別是a1b1、ab的中點，
∴an b1m.
∴四邊形amb1n是平行四邊形.
∴am∥b1n.
連線mn，在矩形aa1b1b中有
a1b1 ab.
∴mb1 bn，∴四邊形bb1mn是平行四邊形.
∴bb1 mn.又由bb1 cc1，知mn cc1.
∴四邊形mncc1是平行四邊形.∴c1m cn.
又c1m∩am=m，cn∩nb1=n，
∴平面amc1∥平面nb1c.
(4)解由（2）知a1b⊥am，
又由已知a1b⊥ac1，am∩ac1=a，
∴a1b⊥平面amc1.
又∵平面amc1∥平面nb1c，
∴a1b⊥平面nb1c.
又b1c平面nb1c，∴a1b⊥b1c.
∴a1b與b1c所成的角為90°.
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