習題44-1．如圖所示的圓錐擺，繩長為l，繩子一端固定，另一端系一質量為m的質點，以勻角速ω繞鉛直線作圓周運動，繩子與鉛直線的夾角為θ。在質點旋轉一周的過程中，試求：
（1）質點所受合外力的衝量；
（2）質點所受張力t的衝量。
解：（1）設週期為，因質點轉動一周的過程中，
速度沒有變化，，由， ∴旋轉一周的衝量；
（2）如圖該質點受的外力有重力和拉力，且，∴張力t旋轉一周的衝量：
所以拉力產生的衝量為，方向豎直向上。
4-2．一物體在多個外力作用下作勻速直線運動，速度。已知其中一力方向恆與運動方向一致，大小隨時間變化內關係曲線為半個橢圓，如圖。求：
（1）力在1s到3s間所做的功；
（2）其他力在1s到3s間所做的功。
解：（1）由於橢圓面積為，
∴（2）由動能定理可知，當物體速度不變時，外力做的總功為零，所以當該做的功為125.6j時，其他的力的功為125.6j。
4-3．質量為的質點在平面內運動，運動學方程為
，求：（1）質點在任一時刻的動量；
（2）從到的時間內質點受到的衝量。
解：（1）根據動量的定義：，而，
∴；（2）由， 所以衝量為零。
4-4．質量為m=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長為l=1.0m的細繩懸掛在天花板上。
今有一質量為m=20g的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時子彈的速度大小=30m/s，設穿透時間極短。求：
（1）子彈剛穿出時繩中張力的大小；（2）子彈在穿透過程中所受的衝量。
解：（1）解：由碰撞過程動量守恆可得： ∴
根據圓周運動的規律：，有：；
（2）根據衝量定理可得：。
4-5．一靜止的原子核經放射性衰變產生出乙個電子和乙個中微子，巳知電子的動量為，中微子的動量為，兩動量方向彼此垂直。（1）求核反衝動量的大小和方向；（2）已知衰變後原子核的質量為，求其反衝動能。
解：由碰撞時，動量守恆，分析示意圖，有：
（1）又∵，∴ ，
所以， ；
（2）反衝的動能為：。
4-6．中子的發現者查德威克於2023年通過快中子與氫核、氮核的對心彈性碰撞發現氫核的反衝速度為，氮核的反衝速度為，已知氫核的質量為，氮核的質量為，試推算中子的質量及其初速度。
解：設快中子的質量為，氫核的質量為，氮核的質量為，
根據彈性碰撞的規律，可得：，，
代入已知量，可得：
那麼，， 。
4-7．一顆子彈在槍筒裡前進時所受的合力大小為，子彈從槍口射出時的速率為。設子彈離開槍口處合力剛好為零。求：
（1）子彈走完槍筒全長所用的時間；
（2）子彈在槍筒中所受力的衝量；
（3）子彈的質量。
解：（1）由於離開槍口處合力剛好為零，有：，得：；
（2）由衝量定義：有：
（3）再由，有：。
4-8．有質量為的彈丸，從地面斜丟擲去，它的落地點為。如果它在飛行到最高點處**成質量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平丟擲，它們同時落地。
問第二塊碎片落在何處。
解：利用質心運動定理，在**的前後，質心始終只受重力的作用，因此，質心的軌跡為一拋物線，它的落地點為。
，而，，
∴。4-9．兩個質量分別為和的木塊，用一勁度係數為的輕彈簧連線，放在光滑的水平面上。緊靠牆。
今用力推塊，使彈簧壓縮然後釋放。（已知，）求：（1）釋放後兩滑塊速度相等時的瞬時速度的大小；（2）彈簧的最大伸長量。
解：分析題意，首先在彈簧由壓縮狀態回到原長時，是彈簧的彈性勢能轉換為b木塊的動能，然後b帶動a一起運動，此時動量守恆，兩者具有相同的速度v 時，彈簧伸長最大，由機械能守恆可算出其量值。
（1）所以：；
（2） 那麼計算可得：
4-10．二質量相同的小球，乙個靜止，乙個以速度與另乙個小球作對心碰撞，求碰撞後兩球的速度。（1）假設碰撞是完全非彈性的；（2）假設碰撞是完全彈性的；（3）假設碰撞的恢復係數。
解：（1）完全非彈性碰撞具有共同的速度：，∴；
（2）完全彈性碰撞動量守恆，能量守恆：
兩球交換速度；
（3）假設碰撞的恢復係數，按定義：，
有：，再利用，
可求得： ， 。
4-11．如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動．當木塊向下滑時，恰好有一質量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊並陷在其中。設彈簧的勁度係數為。求子彈打入木塊後它們的共同速度。
解：由機械能守恆條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恆，可得：
(碰撞前木快的速度)
再由沿斜面方向動量守恆定律，可得：
。4-12． 水平路面上有一質量的無動力小車以勻速率運動。小車由不可伸長的輕繩與另一質量為的車廂連線，車廂前端有一質量為的物體，物體與車廂間摩擦係數為。
開始時車廂靜止，繩未拉緊。求：
(1)當小車、車廂、物體以共同速度運動時，物體相對車廂的位移；
(2)從繩繃緊到三者達到共同速度所需時間。(車與路面間摩擦不計，取g =10m/s2)
解：（1）由三者碰撞，動量守恆，可得：
再將與看成乙個系統，由動量守恆有：
→對，由動能定理有：
（2）由，有：
4-13．一質量為千克的木塊，系在一固定於牆壁的彈簧的末端，靜止在光滑水平面上，彈簧的勁度係數為。一質量為的子彈射入木塊後，彈簧長度被壓縮了。(1)求子彈的速度；(2)若子彈射入木塊的深度為，求子彈所受的平均阻力。
解：分析，碰撞過程中子彈和木塊動量守恆，碰撞結束後機械能守恆條件。
（1）相碰後，壓縮前：，
壓縮了時，有：，
計算得到：，
；（2）設子彈射入木快所受的阻力為，阻力做功使子彈動能減小，木塊動能增加。
∴4-14．質量為、長為的船浮在靜止的水面上，船上有一質量為的人，開始時人與船也相對靜止，然後人以相對於船的速度從船尾走到船頭，當人走到船頭後人就站在船頭上，經長時間後，人與船又都靜止下來了。設船在運動過程中受到的阻力與船相對水的速度成正比，即。求在整個過程中船的位移。
分析：將題中過程分三段討論。
（1）設船相對於靜水的速度為，而人以相對於船的速度為，則人相對於靜水的速度為，開始時人和船作為乙個系統動量之和為零。由於水對船有阻力，當人從船尾走到船頭時，系統動量之和等於阻力對船的衝量，有： ，此時，方向方向相反，船有與人行進方向相反的位移；
（2）當人走到船頭突然停下來，人和船在停下來前後動量守恆，有：
，為人停下來時船和人具有的共同速度，方向應於原方向相同；
（3）人就站在船頭上，經長時間後，人與船又都靜止下來，表明最後人和船作為乙個系統動量之和又為零，則這個過程水阻力對船的衝量耗散了系統的動量，有：
，船有與人行進方向相同的位移。
綜上，系統在（1）和（3）兩過程中動量的變化相同，水的阻力在（1）和（3）兩過程中給系統的衝量也是相同的。
解：∵，利用，而：，
有：，得：，
即： 。
4-15．以初速度0將質量為m的質點以傾角從座標原點處丟擲。設質點在oxy平面內運動，不計空氣阻力，以座標原點為參考點，計算任一時刻：
（1）作用在質點上的力矩；
（2）質點的角動量。
解：（1）
（2）4-16．人造地球衛星近地點離地心r1=2r，（r為地球半徑），遠地點離地心r2=4r。求：
（1）衛星在近地點及遠地點處的速率和（用地球半徑r以及地球表面附近的重力加速度g來表示）；
（2）衛星執行軌道在近地點處的軌跡的曲率半徑ρ。
解：（1）利用角動量守恆：，得，
同時利用衛星的機械能守恆，這裡，萬有引力勢能表示式為：，
所以：，
考慮到：，有：，
（2）利用萬有引力提供向心力，有：
， 可得到：。
4-17．火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發動機停止工作，不計空氣阻力，求火箭在距地心4r的a處的速度。
解：第二宇宙速度時，由機械能守恆：
再由角動量守恆：，代入：。
思考題4
4-1．一粒子初時沿軸負向以速度運動，後被位於座標原點的金核所散射，使其沿與軸成的方向運動(速度大小不變)．試用向量在圖上表出粒子所受到的衝量的大小和方向。
解：由：
，考慮到，
見右圖示。
4-2．試用所學的力學原理解釋逆風行舟的現象。
解：可用動量定理來解釋。設風沿與航向成角的方向
從右前方吹來，以風中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研
究物件，表示這塊空氣的質量，和分別表示它
吹向帆面和離開帆面時的速度，由於帆面比較光滑，風
速大小基本不變，但是由於的速度方向改變了，所
以一定是受到帆的作用力，根據牛頓第三定律，必然
對帆有乙個反作用力，此力的方向偏向船前進的方向，將分解為兩個分量，垂直船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動帆及整個船體前進的作用力。
4-3．兩個有相互作用的質點和（），已知在不受外力時它們的總動量為零，的軌跡如圖，試畫出質點的運動軌跡。
解：由，見下圖。
4-4．當質量為的人造衛星在軌道上運動時，常常列出下列三個方程：，，
，試分析上述三個方程各在什麼條件下成立。
解：（1）機械能守恆；
（2）角動量守恆；
（3）萬有引力提供向心力。
4-5．在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發射一炮彈，對於炮車和炮彈這一系統，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恆？
答：對於這個系統，（1）動量守恆；（2）能量守恆，因為沒有外力做功。
4-6．體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當他們由同一高度向上爬時，相對於繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達頂點情況是：
（a）甲先到達；（b）乙先到達；（c）同時到達；（d）誰先到達不能確定。
答：本題測試的是剛體系統的角動量定理和角動量守恆的概念.
當兩小孩質量相等時，m=0。則系統角動量守恆，兩人的實際的速度相同，將同時到達滑輪處，與誰在用力，誰不在用力無關。
選擇c。
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