【考點梳理】
一、考試內容
1．曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲線的交點。
2．橢圓及其標準方程。焦點、焦距。橢圓的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、離心率、準線。橢圓的畫法。
3．雙曲線及其標準方程。焦點、焦距。雙曲線的幾何性質：範圍、對稱性、實軸、虛軸、漸近線、離心率、準線。雙曲線的畫法。等邊雙曲線。
4．拋物線及其標準方程。焦點、準線。拋物線的幾何性質：範圍、對稱性、頂點、離心率。拋物線的畫法。
5．座標軸的平移。利用座標軸的平移化簡圓錐曲線方程。
二、考試要求
1．掌握直角座標系中的曲線方程的關係和軌跡的概念。能夠根據所給條件，選擇適當的直角座標系求曲線的方程，並畫出方程所表示的曲線。
理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給定的兩個命題的充要關係。
2．掌握圓錐曲線的標準方程及其幾何性質。會根據所給的條件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實際應用。
對於圓錐曲線的內容，不要求解有關兩個二次曲線的交點座標的問題（兩圓的交點除外）。
3．理解座標變換的意義，掌握利用座標軸平移化簡圓錐曲線方程的方法。
4．了解用座標研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質的方法。
三、考點簡析
1．「曲線的方程」和「方程的曲線」的概念
在直角座標系中，如果某曲線c（看作滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與乙個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關係：
（1）曲線上的點的座標都是這個方程的解；
（2）以這個方程的解為座標的點都是曲線上的點。
那麼這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
2．充要條件
（1）對於已知條件a和條件b，若a成立則b成立，即ab，這時稱條件a是b成立的充分條件。
（2）對於已知條件a和條件b，若b成立則a成立，即ba，這時稱條件a是b成立的必要條件。
（3）若既有ab，又有ba，那麼a既是b成立的充分條件，又是b成立的必要條件，這時稱a是b成立的充要條件。
3．圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質（各選其中一種為例，其餘同理研究）如下表：
4．直線與圓錐曲線的位置關係
直線與圓錐曲線的位置關係，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有乙個公共點及有兩個相異公共點。
直線與圓錐曲線的位置關係的研究方法可通過代數方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數與交點的個數是一樣的。
5．直線與圓錐曲線相交的弦長公式
設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：f(x,y)=0，它們的交點為p1 (x1,y1)，p2 (x2,y2)，且由
消去y→ax2+bx+c=0 （a≠0） δ=b2- 4ac。則弦長公式為
d====
6．座標軸的平移及移軸公式
座標軸的方向和長度單位都不改變，只改變原點的位置，這種座標系的變換叫座標軸的平移，簡稱移軸。
移軸公式或，這裡(x,y)，(x′,y′)，(h,k)分別為原座標系中的座標，新座標系中的座標，新原點在原座標系中的座標。
四、思想方法
1．求軌跡方程的基本方法有兩大類，即直接法和間接法。其中直接法包括：直譯法，定義法，待定係數法，公式法等。
間接法包括：轉移法，引數法(k引數、t引數，θ引數及多個引數)等。
2．本節解題時用到的主要數學思想方法有：
（1）函式方程思想。求平面曲線的軌跡方程，其解決問題的最終落腳點就是將幾何條件(性質)表示為動點座標x、y的方程或函式關係（引數法）。
（2）數形結合思想。解題時重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的。即將對幾何圖形的研究，轉化為對代數式的研究，同時又要理解代數問題的幾何意義。
（3）等價轉化思想。在解決問題的過程中往往需要將乙個問題等價轉化為另乙個較為簡單的問題去求解。
3．避免繁複運算的基本方法可以概括為：迴避，選擇，尋求。所謂迴避，就是根據題設的幾何特徵，靈活運用曲線的有關定義、性質等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁複的運算。
所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變數，合適的座標系等，一般以直接性和間接性為基本原則。因為對普通方程運算複雜的問題，用引數方程可能會簡單；在某一直角座標系下運算複雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角座標系下運算複雜的問題，在極座標系下可能會簡單「所謂尋求」。
【例題解析】
例1 設直線l：x=，定點a(,0)，動點p到直線l的距離為d，且=。求動點p的軌跡c的方程。
解設動點p(x,y)。由題意得=，
由兩邊平方得，x2-2x+3+y2= (x2-x+)，
即x2 - x+y2=。
經配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。
例2 已知拋物線c的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線c向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線c在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線c向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線c的方程。
解設所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(a∈r,a≠0) ①
由①的頂點到原點的距離為5，得=5 ②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設方程的二根為x1,x2，則
|x1-x2|=2。
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(x-h)2=a(y-k-3)
令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設方程的二根為x3,x4，則
|x3-x4|=2。
依題意得2=·2，
即 4(ak+3a)=ak ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),
由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak ④
由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。
∴所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。
例3 設橢圓+=1的兩焦點為f1、f2，長軸兩端點為a1、a2。
（1）p是橢圓上一點，且∠f1pf2=60°，求△f1pf2的面積；
（2）若橢圓上存在一點q，使∠a1qa2=120°，求橢圓離心率e的取值範圍。
解 （1）設|pf1|=r1,|pf2|=r2,則r1+r2=2a。
在△f1pf2中，|f1f2|=2c, ∠f1pf2=60°,
由餘弦定理，得4c2=r12+r22 –2r1r2cos60°=(r1+r2)2 –3r1r2,
將r1+r2=2a代入，得r1r2= (a2-c2)= b2
∴s△fpf=r1r2sin60°
=·b2·=b2。
（2）設點q的座標為(x0,y0)，則b2x02+a2y02=a2b2。
∵∠a1qa2=120°,又不妨設a1(a,0),a2(-a,0)，
∴tan（π-∠a1qa2）===
將x02=a2 -y02代入得= 解得,y0=
∵-b≤y0≤b ∴b2+2ab -a2≤0
即()2+2()-≤0，解得≤，e2=1-≥，且e2<1。∴≤e<1。
例4 設雙曲線-=1的焦點分別為f1、f2，離心率為2。
（1）求此雙曲線的漸近線l1、l2的方程；
（2）若a、b分別為l1、l2上的動點，且2|ab|=5|f1f2|，求線段ab的中點m的軌跡方程並說明軌跡是什麼曲線。
解 （1）由已知得已知雙曲線的離心率為=2，解得a2=1，所以已知雙曲線方程為y2-=1，它的漸近線l1、l2的方程為x-y=0和x+y=0。
（2）因為|f1f2|=4，2|ab|=5|f1f2|，所以|ab|=10。
設a在l1上，b在l2上，則可以設a(y1,y1)、b(-y2、y2)，
∴=10 ①
設ab的中點m(x,y)，則x=,y=。
∴y1-y2=,y1+y2=2y，
代入①得12y2+=100，即中點m的軌跡方程為+=1，是橢圓。
例5 已知橢圓的乙個頂點為a(0,-1)，焦點在x軸上，其右焦點到直線x-y+2=0的距離為3，
（1）求橢圓方程；
（2）橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交於不同的兩點m、n，當|am|=|an|時，求m的取值範圍。
解 （1）設已知橢圓方程為+=1(a>b>0)
其中b=1。又設右焦點為(c,0)，則
=3，解得c=,∴a=。
∴橢圓方程為+y2=1。
（2）設p為mn的中點，
解方程組得
(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0
δ= -12m2+36k2+12>0，得m2<3k2+1 ①
又xm+xn=,xp=
yp=kxp+m=∴kap=
又由mn⊥ap得 = -。
變形後，得2m=3k2+1
把②代入①，得2m>m2,解得0又由②得k2=>0，解得m>。
∴例6 已知曲線c:x2-y2=1及直線l:y=kx-1，曲線c′與c關於直線l對稱。
（1）當k=1時，求曲線c′的方程；
（2）求證：不論實數k為何值，c與c′恒有公共點。
解 （1）設p(x,y)是所求曲線c′上任意一點，p點關於直線l的對稱點q(x0,y0)在已知曲線c上。
∴ 解得
代入c的方程得(y+1)2-(x-1)2=1，即得c′的方程。
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