立體幾何（一） 空間直線，平面之間的關係2011-08-06
一. 基礎知識
1.空間直線的關係：空間的兩條直線有三種關係。（重點掌握「異面直線所稱的角；異面直線定理」）
2.空間直線和平面的位置關係有三種關係。其中
和統稱直線在平面外。（重點掌握「直線和平面平行的判定定理；性質定理。）
3. 空間兩個平面的位置關係有兩種位置關係。
平面與平面平行的判定定理（1
平面與平面平行的判定定理（2
平面與平面平行的判定定理（3）垂直於的兩個平面平行。
平面與平面平行的性質定理（1
平面與平面平行的性質定理（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的平行。
4.空間中直線與直線垂直分為垂直和垂直。
5.直線與平面垂直的判定定理（1）一條直線與乙個平面內的都垂直，則該直線與此平面垂直。
直線與平面垂直的判定定理（2）如果兩條平行直線中的垂直於乙個平面，那麼
也垂直於此平面。
直線與平面垂直的性質定理（1）如果一條直線和乙個平面垂直，那麼這條直線和這個平面內的都垂直。
直線與平面垂直的性質定理（2）垂直於同乙個平面的兩條直線
6.掌握直線和平面所成的角及其範圍；二面角及其範圍。
7.兩個平面垂直的判定定理：乙個平面過另外乙個平面的那麼這兩個平面垂直。
兩個平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於的直線垂直於 。
二．重點題型
題型一：證明平行（線線平行線面平行面面平行）與垂直（線線垂直線面垂直面面垂直）。
例1：如圖，在四稜錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面，. 若.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）設側稜的中點是，求證：be//平面pcd （兩種方法）
注：認真分析已知條件，得到圖中線，面之間的平行，垂直關係，為解題提供充足的已知；注意輔助線的新增技巧（遇「中點」，考慮新增三角形中位線，產生平行）
例2：如圖，四稜錐p—abcd的底面是菱形，pb=pd，e為pa的中點.
（i）求證：pc//平面bde；
（ii）求證：平面pac⊥平面bde.
注：認真分析已知條件，進一步發掘已知條件得到更多已知，解題做好準備；輔助線的新增技巧：等腰三角形的「三線合一」性質的應用。
例3：如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且為中點.
( i ) 求證：平面；
( ii ) 求證：.
注：注意「面面垂直性質定理」的應用，「菱形性質的應用」。
: 例4：如圖，在直三稜柱中，，，分別為，的中點，四邊形是正方形．
（ⅰ）求證：∥平面；
（ⅱ）求證：平面．
注：注意「直稜柱中蘊藏著大量的線線，線面，面面垂直，一定要詳知」； 輔助線的新增技巧：在平行四邊形中注意新增對角線，從而產生「中點」。
題型二：求空間角（異面直線所成的角，線面所成的角，二面角例1：在三稜錐p—abc中，pa垂直平面abc，ab求異面直線pc與ab所成的角。
圖1） 注：通過平移（作平行線）使兩條異面直線相交，從而得到兩條異面直線所成的角。
練習：正六稜柱abcdef—的底面邊長為1，側稜長為，則這個稜柱的側面對角線與所成的角是（ ）
abcd.
例2：（1）已知在三稜錐p—ocb中，po平面ocb，
d為pc的中點，求od與平面pbc所成角的正弦值。（）（兩種方法）
圖2） 注：1.利用「定義法」求直線和平面所成的角，關鍵是求出「點到平面的距離」。而「等體積」法是求「點到平面的距離」的重要方法。
2.利用「垂面法」找到直線和平面所成的角，關鍵是找到「垂面」。再利用「面面垂直性質」就可找到直線和平面所成的角，解直角三角形即可。
2）已知稜長為1的正方體中，e,f分別是bc，的中點。
1）求證：是菱形; (2)求ad和平面所成角的余弦值。（
圖3) 注：深刻了解正方體的特有性質。（體對角線和面對角線之間的垂直關係）
例3：（1）在三稜錐p—abc中，底面abc，。m為pb的中點，求面amc與面bmc所成二面角大小的余弦值。（（兩種方法）
圖4）注：1.「定義法」求二面角的平面角：在乙個半平面內作稜的垂線，另外乙個半平面內取一點和垂足連線起來，然後證明垂直。
2.「三垂線法」求二面角的平面角：關鍵是找到乙個麵內的一點到另乙個面得垂線，方法是：找過乙個麵內的一點且和另乙個面垂直的平面（找垂面），再由麵麵垂直性質定理找到垂線。
2）在二面角內部有一點p，
求二面角的大小。
圖5） 注：「垂面法」 求二面角：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角。
特別注意：二面角的稜與平面角所在的平面垂直。
題型三：求空間距離（點到面距離，異面直線之間的距離）
例4：在長方體中， e為中點，為上底面中心。求點到（1）平面的距離；（2）平面的距離.()
圖6）（1）方法一：（直接法）
注：直接法就是找到「點到平面的垂線段」，然後求之。具體做法：找到「過點且和平面垂直的平面(找垂面)，再由麵麵垂直的性質定理找到垂線段。這種方法較難，難在找垂面。
方法二：（等體積法）
（2）方法一：（等體積法）
方法二：**化法：變換點，然後用直接法）
小結：求點到平面距離的常用方法：1.直接法；2.體積法；3.轉化法
轉化規律：（1）若直線ab//平面，則a，b到平面距離相等；
2）若直線ab與平面的交點為c，則a，b到平面的距離之比為ac：bc。
練習：在例4的已知條件下，求點到面bde的距離。（
題型四：求異面直線間的距離
例5：正四面體a—bcd中，稜長為2，e,f分別為ab，cd的中點。
（1） 求證：ef是異面直線ab，cd的公垂線；
（2） 求：ef的長。（
圖7）小結：找到兩條異面直線的公垂線段一般情況下比較難，在較簡單時可以採用（找垂面法）來尋求公垂線段。
立體幾何（二）用空間向量解決線面關係2011-08-09
一，基本方法：
求空間角：
1.異面直線所成的角
設兩條異面直線ab，cd所成的角為，只要先計算向量所成的角，
如果則如果則 。
2.直線與平面所成的角
設直線ab和平面相交，平面的法向量為與所成的角為，直線ab和平面所成的角為。
當是銳角時當是鈍角時
3.二面角：
第一種方法：若ab，cd分別是二面角的兩個麵內與稜垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量的夾角。（圖1）
第二種方法：設分別是二面角的兩個面的法向量，則
與二面角相等或互補。（會判斷何時相等，互補）
例1：已知在三稜錐p—ocb中，po平面ocb，
d為pc的中點，求od與平面pbc所成角的正弦值。
例2：已知abcd是上，下底邊長分別是2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的大小。
求空間距離:
1.點到平面的距離
如圖所示，設是平面的法向量，a是平面內任一點，p是平面外的一點，則點p到平面的距離d=。（會推導公式） （圖2）
高中數學立體幾何
必修21.已知某個幾何體的三檢視如下，根據圖中標出的尺寸 單位 cm 可得這個幾何體的體積是 2.某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為 3 如圖,在稜長為a的正方體abcd a1b1c1d1中,e f g分別是cb cd cc1的中點.1 求證 平面ab1d1 平面efg 2 求證 平面aa...
高中數學立體幾何總結
考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 數學探索版權所有平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 數學探索版權所有平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 數學探索版權所有多面體 正多面體 稜柱 稜錐 球 數...
高中數學立體幾何總結
考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 數學探索版權所有平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 數學探索版權所有平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 數學探索版權所有多面體 正多面體 稜柱 稜錐 球 數...