不等式選講考點精細選
一、知識點整合：
1． 含有絕對值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)－a(3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值的幾何意義求解．
2． 含有絕對值的不等式的性質
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3． 柯西不等式
(1)設a，b，c，d均為實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時等號
成立．(2)若ai，bi(i∈n*)為實數，則(a)(b)≥(aibi)2，當且僅當＝＝…＝(當某bj＝0時，認為aj＝0，j＝1,2，…，n)時等號成立．
(3)柯西不等式的向量形式：設α，β為平面上的兩個向量，則當且僅當這兩個向量共線時等號成立．
4． 不等式的證明方法
證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法等．
練習精細選
1．若關於實數x的不等式|x－5|＋|x＋3|答案 (－∞，8]
解析 ∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|
≥|5－x＋x＋3|＝8，
∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，
要使|x－5|＋|x＋3|2． (2013·江西)在實數範圍內，不等式||x－2|－1|≤1的解集為________．
答案 [0,4]
解析由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，
解得0≤x≤4.
∴不等式的解集為[0,4]．
3．已知a，b，m，n均為正數，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．
答案 2
解析由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時「＝」成立，得
(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
4．若不等式|kx－4|≤2的解集為，則實數k
答案 2
解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集為，∴k＝2.
5．設x，y∈r，且xy≠0，則·的最小值為________．
答案 9
解析 ＝5＋＋4x2y2
≥5＋2＝9，
當且僅當x2y2＝時「＝」成立．
三、典型題型分析
題型一含絕對值的不等式的解法
例1 已知函式f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)當a＝－2時，求不等式f(x)(2)設a>－1，且當x∈時，f(x)≤g(x)，求a的取值範圍．
審題破題 (1)可以通過分段討論去絕對值；(2)在x∈時去絕對值，利用函式最值求a的範圍．
解 (1)當a＝－2時，不等式f(x)設函式y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
則y＝其圖象如圖所示，由圖象可知，當且僅當x∈(0,2)時，y<0，所以原不等式的解集是
．又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)證明由(1)知＋＋＝1，
又a，b，c∈r＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
點評：不等式證明的基本方法是比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數學歸納法，其中以比較法和綜合法最為基礎，使用綜合法證明不等式的關鍵就是通過適當的變換後使用重要不等式，證明過程注意從重要不等式的形式入手達到證明的目的．
變式訓練2 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集為m.
(1)求m；
(2)當a，b∈m時，證明：2|a＋b|<|4＋ab|.
(1)解 f(x)＝|x＋1|＋|x－1|
＝當x<－1時，由－2x<4，得－2當－1≤x≤1時，f(x)＝2<4；
當x>1時，由2x<4，得1∴m＝(－2,2)．
(2)證明 a，b∈m，即－2∴4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)
－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)<0，
∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，
∴2|a＋b|<|4＋ab|.
題型三不等式的綜合應用
例3 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈r)，不等式f(x)≤3的解集為．
(1)求a的值；
(2)若≤k恆成立，求k的取值範圍．
審題破題 (1)|ax＋1|≤3的解集為[－2,1]，對照即可；(2)可通過函式最值解決恆成立
問題．解 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集為，
所以當a≤0時，不合題意．
當a>0時，－≤x≤，得a＝2.
(2)記h(x)＝f(x)－2f，
則h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
點評：不等式f(a)≥g(x)恆成立時，要看是對哪乙個變數恆成立，如果對於a∈r恆成立，則f(a)的最小值大於等於g(x)，再解關於x的不等式求x的取值範圍；如果對於x∈r不等式恆成立，則g(x)的最大值小於等於f(a)，再解關於a的不等式求a的取值範圍．
變式訓練3 已知函式f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)當a＝2時，求函式f(x)的最小值；
(2)當函式f(x)的定義域為r時，求實數a的取值範圍．
解 (1)函式的定義域滿足：|x－1|＋|x－5|－a>0，
即|x－1|＋|x－5|>a＝2.
設g(x)＝|x－1|＋|x－5|，
則g(x)＝|x－1|＋|x－5|＝
g(x)min＝4>a＝2，f(x)min＝log2(4－2)＝1.
(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值為4，
|x－1|＋|x－5|－a>0，
∴a<4，∴a的取值範圍是(－∞，4)．
四、閱卷評析
典例 (10分)設f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)當a＝1時，解不等式f(x)≤8；
(2)若f(x)≥6恆成立，求正實數a的取值範圍．
規範解答
解 (1)f(x)＝|x|＋2|x－1|＝
當x<0時，由2－3x≤8，得－2≤x<0；
當0≤x≤1時，由2－x≤8，得0≤x≤1；
當x>1時，由3x－2≤8，解得1綜上，不等式f(x)≤8的解集為.[5分]
(2)因為f(x)＝|x|＋2|x－a|＝
可見f(x)在(－∞，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，
所以當x＝a時，f(x)取最小值a，所以a的取值範圍是[6，＋∞)．[10分]
評分細則 (1)f(x)去絕對值得分段函式給2分；三種情況下的解集錯一種扣1分，沒有最後結論扣1分；(2)求出f(x)的單調性給至8分．
閱卷老師提醒 (1)含有絕對值式子的函式，實質上就是乙個分段函式，根據解析式中每個絕對值取零時的自變數的值將定義域分成幾段，分段去掉絕對值符號即可．
高考理科數學不等式選講考點練習
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考點33不等式選講
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不等式選講
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