不等式選講
[知識點複習]
1、不等式的基本性質
①（對稱性傳遞性）
③（可加性）
（同向可加性） （異向可減性）
④（可積性
⑤（同向正數可乘性異向正數可除性）
⑥（平方法則開方法則）
⑧（倒數法則）
2、幾個重要不等式
①,（當且僅當時取號）. 變形公式：
②（基本不等式） ,（當且僅當時取到等號）.
變形公式：
用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件「一正、二定、三相等」.
③（三個正數的算術—幾何平均不等式）
（當且僅當時取到等號）.
④（當且僅當時取到等號）.
⑤（當且僅當時取到等號）.
⑥（當僅當a=b時取等號） （當僅當a=b時取等號）
⑦ 其中
規律：小於1同加則變大，大於1同加則變小.
⑧⑨絕對值三角不等式
3、幾個著名不等式
①平均不等式： ,（當且僅當時取號）.
（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.
變形公式：
②冪平均不等式：
③二維形式的三角不等式：
④二維形式的柯西不等式：
當且僅當時，等號成立.
⑤三維形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
設為兩組實數.是的任一排列，則
（反序和亂序和順序和）
當且僅當或時，反序和等於順序和.
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函式單調性法，數學歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
捨去或加上一些項，如
將分子或分母放大（縮小），如
等.基本不等式應用
一．基本不等式
1.（1）若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
(3)若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則(當且僅當時取「=」）;若，則(當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則 (當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
4.若，則（當且僅當時取「=」）
注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂「積定和最小，和定積最大」．
（2）求最值的條件「一正，二定，三取等」
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變數的取值範圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用．
應用一：求最值
例1：求下列函式的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解題技巧：
技巧一：湊項
例1：已知，求函式的最大值。
技巧二：湊係數
例1. 當時，求的最大值。
技巧三： 分離
例3. 求的值域。
技巧四：換元
技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。例：求函式的值域。
練習．求下列函式的最小值，並求取得最小值時，x 的值.
（1）（2） (3)
2．已知，求函式的最大值.；3．，求函式的最大值.
條件求最值
1.若實數滿足，則的最小值是
變式：若，求的最小值.並求x,y的值
技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
2：已知，且，求的最小值。
技巧七、已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
技巧八：已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函式w＝＋的最值.
應用二：利用基本不等式證明不等式
1．已知為兩兩不相等的實數，求證：
1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c，且。求證：
應用三：基本不等式與恆成立問題
例：已知且，求使不等式恆成立的實數的取值範圍。
應用四：均值定理在比較大小中的應用：
例：若，則的大小關係是 .
高考線性規劃歸類解析
知識點歸納
1二元一次不等式表示平面區域:
在平面直角座標系中，已知直線ax+by+c=0，座標平面內的點p（x0，y0）
b＞0時，①ax0+by0+c＞0，則點p（x0，y0）在直線的上方；②ax0+by0+c＜0，則點p（x0，y0）在直線的下方
對於任意的二元一次不等式ax+by+c＞0（或＜0），無論b為正值還是負值，我們都可以把y項的係數變形為正數
當b＞0時，①ax+by+c＞0表示直線ax+by+c=0上方的區域；②ax+by+c＜0表示直線ax+by+c=0下方的區域
2線性規劃:
求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題
滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函式的定義域）；使目標函式取得最大值或最小值的可行解叫做最優解生產實際中有許多問題都可以歸結為線性規劃問題
線性規劃問題一般用**法，其步驟如下：
（1）根據題意，設出變數x、y；
（2）找出線性約束條件；
（3）確定線性目標函式z=f（x，y）；
（4）畫出可行域（即各約束條件所示區域的公共區域）；
（5）利用線性目標函式作平行直線系f（x，y）=t（t為引數）；
（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優解，給出答案
題型歸納：
一、已知線性約束條件，探求線性目標關係最值問題
例1、設變數x、y滿足約束條件，則的最大值為 。
二、已知線性約束條件，探求非線性目標關係最值問題
例2、已知則的最小值是 .
例 3. 已知變數x，y滿足約束條件則的取值範圍是（ ）.
（a）[，6b）（－∞，]∪[6，＋∞）
（c）（－∞，3]∪[6d）[3，6]
三、約束條件設計引數形式，考查目標函式最值範圍問題。
例4、在約束條件下，當時，目標函式的最大值的變化範圍是（）
a. b. c. d.
四、已知平面區域，逆向考查約束條件。
例5、已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成乙個三角形區域,表示該區域的不等式組是（）
(a) (b) (c) (d)
五、探求引數問題。
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面區域包含點（0,0）和（－1,1），則m的取值範圍是 （ ）
a、（-3,6） b、（0,6） c、（0,3） d、（-3,3）
例7.已知變數，滿足約束條件。若目標函式（其中）僅在點處取得最大值，則的取值範圍為
例8、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則a的值為 （ ）
a、－3 b、3 c、－1 d、1
六、設計線性規劃，探求平面區域的面積問題
例9在平面直角座標系中，不等式組表示的平面區域的面積是（）
(a) (b)4 (c) (d)2
七、研究線性規劃中的整點最優解問題
例10、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則的最大值是
(a)80 (b) 85 (c) 90 (d)95
例11、滿足|x|＋|y|≤2的點（x，y）中整點（橫縱座標都是整數）有（ ）
a、9個 b、10個 c、13個 d、14個
8．實際應用
例12 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?
例13.某校伙食長期以麵粉和大公尺為主食，麵食每100 g含蛋白質6個單位，含澱粉4個單位，售價05元，公尺食每100 g含蛋白質3個單位，含澱粉7個單位，售價04元，學校要求給學生配製盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的澱粉，問應如何配製盒飯，才既科學又費用最少?
2019高考數學 專題二十不等式選講
1.15年福建理科 已知，函式的最小值為4 求的值 求的最小值 答案 解析 試題分析 由絕對值三角不等式得的最小值為，故，即 利用柯西不等式求解 試題解析 因為 當且僅當時，等號成立 又，所以,所以的最小值為,所以 由 1 知，由柯西不等式得,即.當且僅當,即時，等號成立 所以的最小值為.考點 1 ...
不等式選講
1 設f x 2x 1 x 1 1 求f x 0的解集 2 當x 1時，f x f a 求實數a的取值範圍 2 已知函式f x x 3 2，g x x 1 4.1 若函式f x 的值不大於1，求x的取值範圍 2 若不等式f x g x m 1的解集為r，求m的取值範圍 3 已知函式f x x x 3...
不等式問題選講
例1 集合 若 a，b m 且對m中的其它元素 c，d 總有c a，則a 例2 己知三個不等式 1 若同時滿足 的值也滿足 求m的取值範圍 2 若滿足的 值至少滿足 和 中的乙個，求m的取值範圍。例3.已知對於自然數a，存在乙個以a為首項係數的整係數二次三項式，它有兩個小於1的正根，求證 a 5 例...