直線與圓錐曲線相交，一般採取設而不求，利用韋達定理，在這裡我將這個問題分成了三種型別，其中第一種型別的變式比較多。而方程思想，函式思想在這裡也用得多，兩種思想可以提供簡單的思路，簡單的說就是只需考慮未知數個數和條件個數,。使用韋達定理時需注意成立的條件。
題型一：條件和結論可以直接或經過轉化後可用兩根之和與兩根之積來處理
1. 福建直線，為平面上的動點，f(1,0)過作直線
的垂線，垂足為點，且．
（ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（ⅱ）過點的直線交軌跡於兩點，交直線於點，已知，，求的值；
本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特徵的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力．滿分14分．
解法一：（ⅰ）設點，則，由得：
，化簡得．
（ⅱ）設直線的方程為：
．設，，又，
聯立方程組，消去得：
，，故由，得：
，，整理得：，，
．解法二：（ⅰ）由得：，
，，2．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．
（ⅱ）由已知，，得．
則：．…………①
過點分別作準線的垂線，垂足分別為，，
則有：．…………②
由①②得：，即．
2. (全國卷ⅰ)）已知橢圓的中心為座標原點o，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點f的直線交橢圓於a、b兩點，與共線。
（ⅰ）求橢圓的離心率；
（ⅱ）設m為橢圓上任意一點，且，證明為定值。
解：設橢圓方程為
則直線ab的方程為，代入，化簡得
.令a（），b），則
由與共線，得
又，即，所以，
故離心率
（ii）證明：（1）知，所以橢圓可化為
設，由已知得
在橢圓上，
即①由（1）知
又，代入①得
故為定值，定值為1.
3. 如圖、橢圓的乙個焦點是f（1，0），o為座標原點.
（ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與乙個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（ⅱ）設過點f的直線l交橢圓於a、b兩點.若直線l繞點f任意轉動，值有,求a的取值範圍.
本小題主要考查直線與橢圓的位置關係、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分.
解法一：(ⅰ)設m，n為短軸的兩個三等分點，
因為△mnf為正三角形， 所以, 即1＝ 因此，橢圓方程為
(ⅱ)設
(ⅰ)當直線 ab與x軸重合時，
(ⅱ)當直線ab不與x軸重合時， 設直線ab的方程為：
整理得所以因為恒有，所以aob恒為鈍角. 即恆成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mr恆成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對mr恆成立.當mr時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0.
a20,b>0,所以a0,解得a>或a< (捨去)，即a>,綜合（i）(ii)，a的取值範圍為（，+）.
解法二：（ⅰ）同解法一，
（ⅱ）解：（i）當直線l垂直於x軸時，
x=1代入=1.
因為恒有|oa|2+|ob|2<|ab|2,2(1+ya2)<4 ya2, ya2>1，即》1,
解得a>或a< (捨去)，即a>.
（ii）當直線l不垂直於x軸時，設a（x1,y1）, b（x2,y2）.
設直線ab的方程為y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=因為恒有|oa|2+|ob|2<|ab|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恆成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對kr恆成立.
①當a2- a2 b2+b2>0時，不合題意；
②當a2- a2 b2+b2=0時，a=;
③當a2- a2 b2+b2<0時，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>（捨去），a>，因此a.
綜合（i）（ii），a的取值範圍為（，+）
解法1中的轉化才是亮點。
4. 2010浙江理數）(21) （本題滿分15分）已知m＞1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點.
（ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程；
（ⅱ）設直線與橢圓交於兩點，，的重心分別為.若原點在以線段為直徑的圓內，求實數的取值範圍.
解析：本題主要考察橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關係等基礎知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
（ⅰ）解：因為直線經過，所以,得，又因為，所以，故直線的方程為。
（ⅱ）解：設。
由，消去得
則由，知，
且有。由於，故為的中點，
由，可知
設是的中點，則，由題意可知
即即而所以
即又因為且所以。所以的取值範圍是。原點在以線段為直徑的圓內，也可以像第3題一樣處理，利用且不反向。
5. （2010浙江文數）（22）、（本題滿分15分）已知m是非零實數，拋物線（p>0）
的焦點f在直線上。
（i）若m=2，求拋物線c的方程
（ii）設直線與拋物線c交於a、b，△a,△的重心分別為g,h
求證：對任意非零實數m,拋物線c的準線與x軸的焦點在以線段gh為直徑的圓外。
也可以用第3題的思路
6.（2009全國卷ⅰ）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，已知拋物線與圓相交於a、b、c、d四個點。
（ⅰ）求r的取值範圍
（ⅱ）當四邊形abcd的面積最大時，求對角線ac、bd的交點p的座標。
解：（ⅰ）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得1）
拋物線與圓相交於、、、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根
∴即。解這個方程組得
.（ii） 設四個交點的座標分別為、、、。
則由（i）根據韋達定理有，則
令，則下面求的最大值。
方法1：由三次均值有：
當且僅當，即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。
法2：設四個交點的座標分別為、、、
則直線ac、bd的方程分別為
解得點p的座標為。
設，由及（ⅰ）得
由於四邊形abcd為等腰梯形，因而其面積
則將，代入上式，並令，等，∴，
令得，或（捨去）當時，；當時；當時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形abcd的面積最大，故所求的點p的座標為
7. (2009湖北卷理)（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）
過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交於m、n兩點，自m、n向直線作垂線，垂足分別為
（ⅰ）當時，求證：⊥；
（ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
解：依題意，可設直線mn的方程為，則有21世紀教育網
由消去x可得
從而有於是
又由，可得
（ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線
此時 ①可得
證法1：
21世紀教育網
證法2：
(ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：
證法1：記直線與x軸的交點為,則。於是有
將①、②、③代入上式化簡可得
上式恆成立，即對任意成立
證法2：如圖2，連線,則由可得
,所以直線經過原點o，
同理可證直線也經過原點o
又設則8. （2010全國卷1理數）（21）(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為f，過點的直線與相交於、兩點，點a關於軸的對稱點為d.
（ⅰ）證明：點f在直線bd上；
（ⅱ）設，求的內切圓m的方程 .
9. （2010全國卷2理數）（21）（本小題滿分12分）
己知斜率為1的直線l與雙曲線c：相交於b、d兩點，且bd的中點為．
（ⅰ）求c的離心率；
（ⅱ）設c的右頂點為a，右焦點為f，，證明：過a、b、d三點的圓與x軸相切．
【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函式問題等等，試題的難度相對比較穩定.
用焦半徑不行嗎？
10.（2010山東文數）（22）（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓過點.
，離心率為，左、右焦點分別為、 .點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、 和、，為座標原點.
（i）求橢圓的標準方程；
（ii）設直線、的斜線分別為、.
（i）證明：；
（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的座標；若不存在，說明理由.
題型二：出現情形，兩根的關係不能直接使用使用韋達定理，可將兩根的關係帶入韋達定理。聯考中葉是經常出現的。
（2010遼寧文數）（20）（本小題滿分12分）
設，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓相交於,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為.
（ⅰ）求橢圓的焦距；
（ⅱ）如果,求橢圓的方程.
解：（ⅰ）設焦距為，由已知可得到直線l的距離
所以橢圓的焦距為4
（ⅱ）設直線的方程為
聯立解得因為即得故橢圓的方程為
題型三;直線與圓錐曲線，已知其中乙個交點時，可迅速求出另外乙個交點。
1. （05江西卷）如圖，m是拋物線上y2=x上的一點，動弦me、mf分別交x軸於a、b兩點，且ma=mb.
（1）若m為定點，證明：直線ef的斜率為定值；
（2）若m為動點，且∠emf=90°，求△emf的重心g的軌跡解：（1）設m（y,y0），直線me的斜率為k(l>0)
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