第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查
1、(2010遼寧理數)設雙曲線的—個焦點為f;虛軸的—個端點為b,如果直線fb與該雙曲線的一條漸
近線垂直,那麼此雙曲線的離心率為
(a) (b) (c) (d)
【答案】d
2、(2010遼寧理數)設拋物線y2=8x的焦點為f,準線為l,p為拋物線上一點,pa⊥l,a為垂足.如果直線af的斜率為 ,那麼|pf|=
(a) (b)8 (c) (d) 16
【答案】b
3、(2010上海文數)8.動點到點的距離與它到直線的距離相等,則的軌跡方程為 y2 8x 。
4、(2010全國卷2理數)(15)已知拋物線的準線為 ,過且斜率為的直線與相交於點 ,與的乙個交點為 .若 ,則 .
若雙曲線 - =1(b>0)的漸近線方程式為y= ,則b等於。
【答案】1
5、已知橢圓的兩焦點為 ,點滿足 ,則| |+ |的取值範圍為_______,直線與橢圓c的公共點個數_____。
6、已知點p是雙曲線右支上一點, 、分別是雙曲線的左、右焦點,i為的內心,若成立,則雙曲線的離心率為(▲ )
a.4 b. c.2 d.
6、已知點p是雙曲線右支上一點, 、分別是雙曲線的左、右焦點,i為的內心,若成立,則雙曲線的離心率為(▲ )
a.4 b. c.2 d.
8、(2010重慶理數)(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行於另一條直線的平面內的軌跡是
a. 直線 b. 橢圓 c. 拋物線 d. 雙曲線
解析:排除法軌跡是軸對稱圖形,排除a、c,軌跡與已知直線不能有交點 ,排除b
9、(2010四川理數)橢圓的右焦點 ,其右準線與軸的交點為a,在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點 ,則橢圓離心率的取值範圍是
(a) (b) (c) (d)
解析:由題意,橢圓上存在點p,使得線段ap的垂直平分線過點 ,
即f點到p點與a點的距離相等
而|fa|=
|pf|∈[a-c,a+c]
於是 ∈[a-c,a+c]
即ac-c2≤b2≤ ac+c2∴
又e∈(0,1)
故e∈答案:d
10、(2010福建理數)若點o和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點p為雙曲線右支上的任意一點,則的取值範圍為 ( )
a. b. c. d.
【答案】b
11、(北京市海淀區2023年4月高三第一次模擬考試理科試題)已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點,焦點在軸上,左右焦點分別為 ,且它們在第一象限的交點為p, 是以為底邊的等腰三角形.若 ,雙曲線的離心率的取值範圍為 .則該橢圓的離心率的取值範圍是 .
12、(2023年4月北京市西城區高三抽樣測試理科) 已知雙曲線的左頂點為 ,右焦點為 , 為雙曲線右支上一點,則的最小值為
13、(北京市東城區2010屆高三第二學期綜合練習理科)直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交於 , 兩點,若原點在以為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值範圍是 .
14、(2010全國卷1文數)已知 、 為雙曲線c: 的左、右焦點,點p在c上,∠ = ,則
(a)2 (b)4 (c) 6 (d) 8
15、(2010全國卷1理數)(9)已知 、 為雙曲線c: 的左、右焦點,點p在c上,∠ p = ,則p到x軸的距離為(a) (b) (c) (d)
16、(2010重慶理數)(14)已知以f為焦點的拋物線上的兩點a、b滿足 ,則弦ab的中點到準線的距離為
解析:設bf=m,由拋物線的定義知
中,ac=2m,ab=4m,
直線ab方程為
與拋物線方程聯立消y得
所以ab中點到準線距離為
17、(2010上海文數)已知橢圓的方程為 , 、 和為的三個頂點.
(1)若點滿足 ,求點的座標;
(2)設直線交橢圓於 、 兩點,交直線於點 .若 ,證明: 為的中點;
(3)設點在橢圓內且不在軸上,如何構作過中點的直線 ,使得與橢圓的兩個交點 、 滿足 ?令 , ,點的座標是(-8,-1),若橢圓上的點 、 滿足 ,求點 、 的座標.
解析:(1) ;
(2) 由方程組 ,消y得方程 ,
因為直線交橢圓於 、 兩點,
所以 >0,即 ,
設c(x1,y1)、d(x2,y2),cd中點座標為(x0,y0),
則 ,由方程組 ,消y得方程(k2 k1)x p,
又因為 ,所以 ,
故e為cd的中點;
(3) 因為點p在橢圓γ內且不在x軸上,所以點f在橢圓γ內,可以求得直線of的斜率k2,由知f為p1p2的中點,根據(2)可得直線l的斜率 ,從而得直線l的方程.
,直線of的斜率 ,直線l的斜率 ,
解方程組 ,消y:x2 2x 48 0,解得p1( 6, 4)、p2(8,3).
18、(2010全國卷2理數)(21)(本小題滿分12分)
己知斜率為1的直線l與雙曲線c: 相交於b、d兩點,且bd的中點為 .
(ⅰ)求c的離心率;
(ⅱ)設c的右頂點為a,右焦點為f, ,證明:過a、b、d三點的圓與x軸相切.
19、(2010安徽文數)橢圓經過點 ,對稱軸為座標軸,
焦點在軸上,離心率 。
(ⅰ)求橢圓的方程;
(ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。
20、(2010全國卷1理數)(21)(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為f,過點的直線與相交於 、 兩點,點a關於軸的對稱點為d.
(ⅰ)證明:點f在直線bd上;
(ⅱ)設 ,求的內切圓m的方程 .
21、(2010江蘇卷)在平面直角座標系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點為a、b,右焦點為f。設過點t( )的直線ta、tb與橢圓分別交於點m 、 ,其中m>0, 。
(1)設動點p滿足 ,求點p的軌跡;
(2)設 ,求點t的座標;
(3)設 ,求證:直線mn必過x軸上的一定點(其座標與m無關)。
22、在直角座標系中,點m到點的距離之和是4,點m的軌跡是c與x軸的負半軸交於點a,不過點a的直線與軌跡c交於不同的兩點p和q.
(i)求軌跡c的方程;
(ii)當時,求k與b的關係,並證明直線過定點.
解:(1) 的距離之和是4,
的軌跡c是長軸為4,焦點在x軸上焦中為的橢圓,
其方程為 …………3分
(2)將 ,代入曲線c的方程,
整理得…………5分
因為直線與曲線c交於不同的兩點p和q,
所以 ①
設 ,則② ………… 7分
且 ③顯然,曲線c與x軸的負半軸交於點a(-2,0),所以由
將②、③代入上式,整理得 …………10分
所以即經檢驗,都符合條件①
當b=2k時,直線的方程為
顯然,此時直線經過定點(-2,0)點.
即直線經過點a,與題意不符.
當時,直線的方程為
顯然,此時直線經過定點點,且不過點a.
綜上,k與b的關係是:
且直線經過定點點 …………13分
23、(北京市朝陽區2023年4月高三年級第二學期統一考試理科)(本小題滿分13分)
已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓c的離心率為 ,且經過點 ,過點p(2,1)的直線與橢圓c在第一象限相切於點m .
(1)求橢圓c的方程;
(2)求直線的方程以及點m的座標;
(3))是否存過點p的直線與橢圓c相交於不同的兩點a、b,滿足 ?若存在,求出直線l1的方程;若不存在,請說明理由.
解(ⅰ)設橢圓c的方程為 ,由題意得
解得 ,故橢圓c的方程為4分
(ⅱ)因為過點p(2,1)的直線l與橢圓在第一象限相切,所以l的斜率存在,故可調直線l的議程為
由得 . ①
因為直線與橢圓相切,所以
整理 ,得解得 [
所以直線l方程為
將代入①式,可以解得m點橫座標為1,故切點m座標為 …………9分
(ⅲ)若存在直線l1滿足條件,的方程為 ,代入橢圓c的方程得
因為直線l1與橢圓c相交於不同的兩點a,b,設a,b兩點的座標分別為
所以所以 .
又 ,因為即 ,
所以 .
即所以 ,解得
因為a,b為不同的兩點,所以 .
於是存在直線 1滿足條件,其方程為13分
24、直線的右支交於不同的兩點a、b.
(i)求實數k的取值範圍;
(ii)是否存在實數k,使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
答案:.解:(ⅰ)將直線
……①依題意,直線l與雙曲線c的右支交於不同兩點,故
(ⅱ)設a、b兩點的座標分別為 、 ,則由①式得
……②假設存在實數k,使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f(c,0).
則由fa⊥fb得:
整理得……③
把②式及代入③式化簡得
解得可知使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點.
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