圓錐曲線整理
1．圓錐曲線的定義：
(1)橢圓：|mf1|＋|mf2|＝2a(2a>|f1f2|)；
(2)雙曲線：||mf1|－|mf2||＝2a(2a<|f1f2|)；
(3)拋物線：|mf|＝d.
圓錐曲線的定義是本部分的乙個重點內容，在解題中有廣泛的應用，在理解時要重視「括號」內的限制條件：橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於|ff|，定義中的「絕對值」與＜|ff|不可忽視。若＝|ff|，則軌跡是以f，f為端點的兩條射線，若﹥|ff|，則軌跡不存在。
若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（）,焦點在軸上時＝1（）。
（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：＝1（）。
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
注意：1.圓錐曲線中求基本量，必須把圓錐曲線的方程化為標準方程。
2.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。
雙曲線：由,項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
3．與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程也可設為－＝λ(λ≠0)，漸近線方程為y＝±x的雙曲線方程也可設為－＝λ(λ≠0)．要求雙曲線－＝λ(λ≠0)的漸近線，只需令λ＝0即可．
4．直線與圓錐曲線的位置關係的判斷是利用代數方法，即將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，根據方程組解的個數判斷直線與圓錐曲線的位置關係．
解決直線與圓錐曲線問題的通法
(1)設方程及點的座標．
(2)聯立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程．
(3)應用韋達定理及判別式．
(4)結合已知、中點座標公式、斜率公式及弦長公式求解．
5．若直線與圓錐曲線交於兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，且直線p1p2的斜率為k，則弦長|p1p2|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(k≠0)．|x1－x2|，|y1－y2|的求法，通常使用根與係數的關係，需要作下列變形：|x1－x2|＝，|y1－y2|＝.
6．與圓錐曲線的弦的中點有關的問題
(1)通法．聯立方程利用根與係數的關係
(2)「點差法」．點差法的作用是用弦的中點座標表示弦所在直線的斜率．
點差法的步驟：
①將兩交點a(x1，y1)，b(x2，y2)的座標代入曲線的方程．
②作差消去常數項後分解因式得到關於x1＋x2，x1－x2，y1＋y2，y1－y2的關係式．
③應用斜率公式及中點座標公式求解．
特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交於兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！
6．求曲線方程的基本方法有：
(1)直譯法：建系、設動點、列式、化簡、證明(可以省略)，此法適用於較簡單的問題；
(2)定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出軌跡方程；
(3)相關點法(座標代換法)：若動點p(x，y)依賴於另一動點q(x1，y1)，而q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先寫出關於x1，y1的方程，再根據x1，y1與x，y的關係求出p(x，y)的軌跡方程；
(4)待定係數法：若已知曲線的形狀(如橢圓、雙曲線等)，可用待定係數法；
(5)點差法：求與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，可以設出兩個端點座標，並將其代入圓錐曲線方程，再作差；
(6)交軌法：先根據條件求出兩條動曲(直)線的交點，然後消去其中的引數即得軌跡方程.
7.常見型別轉化：
「以弦ab為直徑的圓過點0」
（提醒：需討論k是否存在）
「點在圓內、圓上、圓外問題」 「鈍角、直角、銳角問題」 「向量的數量積小於、等於、大於0問題」 <0； =0; >0
「等角、角平分、角互補問題」斜率關係（或）；
例如： ef平分
一、圓錐曲線的定義及標準方程，性質及應用
例1. (1)如圖，已知圓o的方程為x2+y2=100,點a的座標為(-6,0),m為圓o上的任意一點,am的垂直平分線交om於點p,則點p的軌跡方程（ ）
a. + =1 b.－=1
c. + =1 d. - =1
解：由於p為am的垂直平分線上的點，|pa|=|pm|所以|pa|+|po|=|pm|+|po|=|om|=r=10>|oa|=6根據橢圓的定義知:p點軌跡方程為+=1.所以選a
(2)設f為拋物線y2＝4x的焦點，a，b，c為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則
a．9 b．6 c．4 d．3
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，
拋物線焦點為f(1,0)，準線方程為x＝－1.
由已知得x1＋x2＋x3＝3，y1＋y2＋y3＝0，
而|fa|＝x1－(－1)＝x1＋1，
|fb|＝x2－(－1)＝x2＋1，
|fc|＝x3－(－1)＝x3＋1，
∴|fa|＋|fb|＋|fc|
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝(x1＋x2＋x3)＋3＝3＋3＝6.
例2.(1)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝x無交點，則離心率e的取值範圍為( )
a．(1,2) b．(1,2] c．(1，) d．(1，]
(2)函式y＝的圖象上至少存在不同的三點到(1,0)的距離構成等比數列，則公比的取值範圍是________．
（3）設雙曲線的乙個焦點為，虛軸的乙個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為（ ）
（a） （b） （c） （d）
（4）橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為a，在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值範圍是（ ）w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（abcd）
a. b. c. d.
(6)乙隻雙曲線o為雙曲線的中心，p是雙曲線右支上的點，的內切圓的圓心為i,且圓i與x 軸相切與點a,過作直線pi的垂線，垂足為b，若雙曲線的離心率e=,則( )
a. b. c. d.
[解析] (1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，要使直線y＝x與雙曲線無交點，則直線y＝x，應在兩漸近線之間，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1(2)函式y＝可變為＋＝1(y≥0)，(1,0)為橢圓的右焦點，上半橢圓上點到右焦點距離的最大值和最小值分別為3和1.此數列為正項數列；要使等比數列公比最大，只要首項最小，末項最大即可，所以公比最大值為，要使等比數列公比最小，只要首項最大，末項最小即可，所以最小值為.
（3）【解析】選d.不妨設雙曲線的焦點在軸上，設其方程為：，則乙個焦點為
一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，，
， 即e2-e-1=0,所以或（捨去）
（4）解析：由題意，橢圓上存在點p，使得線段ap的垂直平分線過點，
即f點到p點與a點的距離相等w_w w. k#s5_u.c o*m
而|fa|＝w_w_w.k*s 5*u.c o*m
|pf|∈[a－c,a＋c]
於是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
（5）答案：b
(6) 答案：c
解析：依題意設內切圓與的切點分別為m,n,a.
且。設a的橫座標為x，可得c+x-(c-x)=2a,即x=a,所以；
延長則b為中點，o為的中點，又因為
三、直線與圓錐曲線的位置關係
例3 .過拋物線y2＝4x的焦點f的直線交該拋物線於a，b兩點，o為座標原點．若|af|＝3，則△aob的面積為( )
a. b. c. d．2
變式題過拋物線y2＝2px焦點f作直線l交拋物線於a，b兩點，o為座標原點，則△oab為( )
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．不確定 d．鈍角三角形
例3[答案] c
[解析] 如圖，設a(x0，y0)(y0<0)．易知拋物線y2＝4x的焦點為f(1,0)，拋物線的準線方程為x＝－1，故由拋物線的定義得|af|＝x0－(－1)＝3，解得x0＝2，所以y0＝－2，故點a(2，－2)．則直線ab的斜率為k＝＝－2，直線ab的方程為y＝－2x＋2，聯立消去y得2x2－5x＋2＝0，由x1x2＝1，得a，b兩點橫座標之積為1，所以點b的橫座標為.再由拋物線的定義得＝－＝，＝＋＝3＋＝.
又因為點o到直線ab的距離為d＝，
所以s△aob＝××＝.
變式題 [答案] d
[解析] 設點a，b的座標為(x1，y1)，(x2，y2)，則·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2<0，所以∠aob為鈍角，故△oab一定為鈍角三角形．
五、圓錐曲線背景下的定點問題
[例5](2023年·福建卷)如圖，橢圓e：＋＝1(a>b>0)的左焦點為f1，右焦點為f2，離心率e＝.過f1的直線交橢圓於a、b兩點，且△abf2的周長為8.
(1)求橢圓e的方程；
(2)設動直線l：y＝kx＋m與橢圓e有且只有乙個公共點p，且與直線x＝4相交於點q.試**：
在座標平面內是否存在定點m，使得以pq為直徑的圓恆過點m？若存在，求出點m的座標；若不存在，說明理由．
[解析] (1)因為|ab|＋|af2|＋|bf2|＝8，
即|af1|＋|f1b|＋|af2|＋|bf2|＝8.
又|af1|＋|af2|＝|bf1|＋|bf2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因為e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.
故橢圓e的方程是＋＝1.
(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
圓錐曲線總結 含答案
第八章圓錐曲線總結 曲線與方程 1 曲線與方程的理論基礎 解析幾何的理論基礎 2 若 1 則有n個交點的充要條件是方程組有n組解 注 曲線的方程 與 方程的曲線 是數和形的純粹性與完備性的統一體 2 曲線系 是過曲線c1與c2交點的曲線系 3 軌跡求法 1 定義型 2 相伴型 練習題 1 方程有兩解...
高考圓錐曲線經典題型
圓錐曲線題型 第一定義 第二定義 雙曲線漸近線等考查 1 設雙曲線的 個焦點為f 虛軸的 個端點為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸 近線垂直，那麼此雙曲線的離心率為 a b c d 答案 d 2 設拋物線y2 8x的焦點為f，準線為l,p為拋物線上一點,pa l,a為垂足 如果直線af的斜率為,那...
圓錐曲線題型總結
高三數學概念 方法 題型 易誤點總結 八 八 圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一...