1.圓錐曲線的兩個定義：
（1）第一定義中要重視「括號」內的限制條件：橢圓中，與兩個定點的距離的和等於常數2a，且此常數2a一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段，當常數小於時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點的距離的差的絕對值等於常數2a，且此常數2a一定要小於，定義中的「絕對值」與不可忽視。若，則軌跡是以為端點的兩條射線，若，則軌跡不存在。
若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。比如：
①已知定點，在滿足下列條件的平面上動點p的軌跡中是橢圓的是
a． b．
c． d．（答：c）；
②方程表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且「點點距為分子、點線距為分母」，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關係，要善於運用第二定義對它們進行相互轉化。
如已知點及拋物線上一動點p（x,y）,則y+|pq|的最小值是_____（答：2）
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在x軸上時（引數方程，其中為引數），焦點在y軸上時。方程表示橢圓的充要條件是什麼？
（abc≠0，且a，b，c同號，a≠b）。比如：已知方程表示橢圓，則k的取值範圍為____（答：
）；（2）雙曲線：焦點在x軸上：，焦點在y軸上：。
方程表示雙曲線的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b異號）。比如：
雙曲線的離心率等於，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______（答：）；
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
（1）橢圓：由分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。
如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是__（答：）
（2）雙曲線：由項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的型別，而方程中的兩個引數a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，，在雙曲線中，c最大，。
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以為例）：①範圍：；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，乙個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，橢圓，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。
比如：若橢圓的離心率，則m的值是__（答：3或）；
（2）雙曲線（以為例）：①範圍：；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，乙個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，雙曲線，等軸雙曲線，e越小，開口越小，e越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。
比如：雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等於______（答：或）；
（3）拋物線（以為例）：①範圍：；②焦點：
乙個焦點，其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸y=0，沒有對稱中心，只有乙個頂點（0,0）；④準線：
一條準線； ⑤離心率：，拋物線。
如設，則拋物線的焦點座標為________（答：）；
5、點和橢圓的關係：
（1）點在橢圓外；
（2）點在橢圓上；
（3）點在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關係：
（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有乙個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有乙個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。
比如：若直線y=kx+2與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則k的取值範圍是_______（答：）；
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。
特別提醒：
（1）直線與雙曲線、拋物線只有乙個公共點時的位置關係有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有乙個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有乙個交點；
（2）過雙曲線外一點的直線與雙曲線只有乙個公共點的情況如下：①p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②p點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④p為原點時不存在這樣的直線；
（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有乙個公共點：兩條切線和一條平行於對稱軸的直線。比如：
①過點(2,4)作直線與拋物線只有乙個公共點，這樣的直線有______（答：2）；
②對於拋物線c：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線c的位置關係是_______（答：相離）； ③求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）。
7、焦半徑（圓錐曲線上的點p到焦點f的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑r=ed，其中d表示p到與f所對應的準線的距離。比如：
①已知橢圓上一點p到橢圓左焦點的距離為3，則點p到右準線的距離為____（答：）；
②橢圓內有一點p(1,-1)，f為右焦點，在橢圓上有一點m，使之值最小，則點m的座標為_______（答：）
8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、餘弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ①，且當即p為短軸端點時，最大為；②，當即p為短軸端點時，的最大值為bc；對於雙曲線的焦點三角形有：
①；②。
比如：短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為，過作直線交橢圓於a、b兩點，則的周長為________（答：6）；
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設ab為焦點弦， m為準線與x軸的交點，則∠amf＝∠bmf；（3）設ab為焦點弦，a、b在準線上的射影分別為，若p為的中點，則pa⊥pb；（4）若ao的延長線交準線於c，則bc平行於x軸，反之，若過b點平行於x軸的直線交準線於c點，則a，o，c三點共線。
10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，則，若分別為a、b的縱座標，則，若弦ab所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：
焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解。
比如：過拋物線焦點的直線交拋物線於a、b兩點，已知|ab|=10，o為座標原點，則δabc重心的橫座標為_______（答：3）；
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用「韋達定理」或「點差法」求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。
比如：如果橢圓弦被點a（4，2）平分，那麼這條弦所在的直線方程是（答：）；
12．你了解下列結論嗎？
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為（為引數，≠0）。
（3）中心在原點，座標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直於對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為2p，焦準距為p；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點弦為ab，，則①；②
（7）若oa、ob是過拋物線頂點o的兩條互相垂直的弦，則直線ab恆經過定點(2p,0)
13．動點軌跡方程：
（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的範圍；
（2）求軌跡方程的常用方法：
①直接法：直接利用條件建立x,y之間的關係f(x,y)=0；
如已知動點p到定點f(1,0)和直線x=3的距離之和等於4，求p的軌跡方程．（答：或）；
②待定係數法：已知所求曲線的型別，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定係數。
如線段ab過x軸正半軸上一點m（m，0）(m>0)，端點a、b到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過a、o、b三點作拋物線，則此拋物線方程為（答：）
③定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
如點m與點f(4,0)的距離比它到直線的距離小於1，則點m的軌跡方程是_______ （答：）；
④代入轉移法：動點p(x,y)依賴於另一動點的變化而變化，並且又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；
如動點p是拋物線上任一點，定點為a(0,-1),點m分所成的比為2，則m的軌跡方程為答：）；
如若點在圓上運動，則點的軌跡方程是____（答：）；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那麼應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行「摘帽子或脫靴子」轉化，還是選擇向量的代數形式進行「摘帽子或脫靴子」轉化。
如已知橢圓的左、右焦點分別是f1（－c，0）、f2（c，0），q是橢圓外的動點，滿足點p是線段與該橢圓的交點，點t**段上，並且滿足（1）設x為點p的橫座標，證明；（2）求點t的軌跡c的方程；（3）試問：在點t的軌跡c上，是否存在點m，使△f1mf2的面積s=若存在，求∠f1mf2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：
（1）略；（2）；（3）當時不存在；當時存在，此時∠f1mf2＝2）
圓錐曲線題型總結
高三數學概念 方法 題型 易誤點總結 八 八 圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一...
圓錐曲線題型總結
與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法 與圓錐曲線有關的最值 極值 問題 與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓同學們對這方面的知識有乙個比較系統的了解，本文系統闡述一下 與圓錐曲線有關的幾種典型題 一 重 難 疑點分析 1 ...
圓錐曲線知識 方法 題型 及技巧總結
1.圓錐曲線的標準方程 標準方程是指中心 頂點 在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程 1 橢圓 焦點在軸上時 焦點在軸上時 1 方程表示橢圓的充要條件是什麼？abc 0，且a，b，c同號，a b 如 1 已知方程表示橢圓，則的取值範圍為 答 2 若，且，則的最大值是 的最小值是 答 2 雙曲線 ...