備課資料
一、正、餘弦定理的邊角互換功能
對於正、餘弦定理,同學們已經開始熟悉,在解三角形的問題中常會用到它,其實,在涉及到三角形的其他問題中,也常會用到它們.兩個定理的特殊功能是邊角互換,即利用它們可以把邊的關係轉化為角的關係,也可以把角的關係轉化為邊的關係,從而使許多問題得以解決.
【例1】已知a、b為△abc的邊,a、b分別是a、b的對角,且求的值.
解：∵,
∴. 又(這是角的關係)，
∴(這是邊的關係).於是,由合比定理得
. 【例2】已知△abc中,三邊a、b、c所對的角分別是a、b、c,且a、b、c成等差數列.
求證:sina+sinc=2sinb.
證明:∵a、b、c成等差數列，
∴a+c=2b(這是邊的關係).①
又, ∴,②
.③ 將②③代入①,得=2b.
整理得sina+sinc=2sinb(這是角的關係).
二、正、餘弦定理的巧用
某些三角習題的化簡和求解,若能巧用正、餘弦定理,則可避免許多繁雜的運算,從而使問題較輕鬆地獲得解決,現舉例說明如下:
【例3】求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,
∵20°+10°+150°=180°,
∴20°、10°、150°可看作乙個三角形的三個內角.
設這三個內角所對的邊依次是a、b、c,由餘弦定理得a2+b2-2abcos150°=c2.(*)
而由正弦定理知a=2rsin20°,b=2rsin10°,c=2rsin150°,
代入(*)式得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=.
∴原式=.
三、構造正三角
通常，我們使用標尺作正三角形．以標尺作正三角形，只需相異兩點a、b，再配合工具即可．分別以a、b點為圓心，ab長為半徑作圓，兩圓相交於c點，△abc就是正三角形了．因為，圓a中，ab=ac (半徑)；而且圓b中，ba=bc(半徑)，所以ab=ba=ac．(參見上圖)
如果沒了圓規，我們要如何作出正三角形呢？再者連標尺也沒了，那麼萬能的雙手又要如何作出正三角形呢？這時我們可以考慮摺紙來協助完成．取適當大小的矩形紙張，先對折，取得一邊的中垂線；再以a點為基點，將此邊向內翻摺，並使得頂點落在中垂線上b點；最後再將b點和a、c點連成三角形(參見右圖)，就是正三角形了．因為，ac=ab，又b點在中垂線上，所以，ba=bc，因此，ab=bc=ca．
解三角形講義一1111
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