函式的性質的運用
1．若函式是奇函式，則下列座標表示的點一定在函式
圖象上的是（ ）
a. b. c. d.
2. 已知函式是奇函式，則的值為（ ）
a． b． cd．
3．已知f（x）是偶函式，g（x）是奇函式，若，則f（x）
的解析式為_______．
4．已知函式f（x）為偶函式，且其圖象與x軸有四個交點，則方程f（x）＝0的所有
實根之和為________．
5.定義在r上的單調函式f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈r
都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函式；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈r恆成立，
求實數k的取值範圍．
6.已知定義在區間（0，+∞）上的函式f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判斷f(x）的單調性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.
7.函式f(x)對任意的a、b∈r,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,並且當x＞0時，f(x)＞1.
（1）求證：f(x)是r上的增函式；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.
8.設f（x）的定義域為（0，+∞），且在（0，+∞）是遞增的，
（1）求證：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）設f（2）=1，解不等式。
9.設函式對都滿足,且方程恰有6個不同
的實數根，則這6個實根的和為（ ）
a． 0b．9c．12 d．18
10.關於的方程的兩個實根、滿足，
則實數m的取值範圍
11.已知函式滿足，且∈[－1,1]時，，
則與的圖象交點的個數是( )
a．3b．4 c．5 d．6
12.已知函式滿足：，則＝；當時＝，則
＝13.已知函式f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：
(1)f(x)為奇函式；
(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.
14.函式f(x)=的圖象( )
a.關於x軸對稱b.關於y軸對稱
c.關於原點對稱d.關於直線x=1對稱
15.函式f(x)在r上為增函式，則y=f(|x+1|)的乙個單調遞減區間是
16.若函式f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0則b的取值範圍是
17.已知函式f(x)=ax+ (a>1).
(1)證明：函式f(x)在(－1，+∞)上為增函式.
(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.
18.求證函式f(x)=在區間(1，+∞)上是減函式.
19設函式f(x)的定義域關於原點對稱且滿足：
(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證：
(1)f(x)是奇函式.
(2)f(x)是週期函式，且有乙個週期是4a.
20.已知函式f(x)的定義域為r，且對m、n∈r,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且
f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.
(1)求證：f(x)是單調遞增函式；
(2)試舉出具有這種性質的乙個函式，並加以驗證.
21.已知奇函式f(x)是定義在(－3，3)上的減函式，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,
設不等式解集為a，b=a∪,
求函式g(x)=－3x2+3x－4(x∈b)的最大值.
22.設f(x)是(－∞,+∞)上的奇函式，f(x+2)=－f(x),當0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)等於( )
a.0.5b.－0.5c.1.5d.－1.5
23.已知定義域為(－1，1)的奇函式y=f(x)又是減函式，且f(a－3)+f(9－a2)<0, 則a的取值
範圍是( )
a.(2，3b.(3，)
c.(2，4d.(－2，3)
24.若f(x)為奇函式，且在(0，+∞)內是增函式，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為
25.如果函式f(x)在r上為奇函式，在(－1，0)上是增函式，且f(x+2)=－f(x),
試比較f(),f(),f(1)的大小關係
參***
6.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
（2）當0 < x < y時，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f單調減。
（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f單調減，所以| x | > 9 x＞9或x＜-9
7.（1）設x1,x2∈r，且x1＜x2, 則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1＞0
∴f（x2）＞f(x1). 即f(x)是r上的增函式
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是r上的增函式，∴3m2-m-2＜2
解得-1＜m＜ ,故解集為
13.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0
∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函式.
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上為減函式，又f(x)為奇函式且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上為減函式.
14.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函式，圖象關於原點對稱.
答案：c
15.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在r上單調遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.
答案：(－∞,－1
16.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
17.證明：(1）設－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且》0,
∴>0,又x1+1>0,x2+1>0
∴>0,
於是f(x2)－f(x1)= + >0
∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函式.
(2）證法一：設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.
證法二：設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則》0, >0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.
18.證明：∵x≠0,∴f(x)=,
設1＜x1＜x2＜+∞,則.
∴f(x1)>f(x2), 故函式f(x)在(1，+∞）上是減函式.
19.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函式.
(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.
∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為週期的週期函式.
20.證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
∴f(x)是單調遞增函式.
(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.
21.解：由且x≠0,故0又∵f(x)是奇函式，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函式，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2∴b=a∪=,又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在b上為減函式，∴g(x)max=g(1)=－4.
22.解析：f(7.
5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.
5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.
5)=－f(－0.5+2)=
f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.
答案：b
23.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函式又是減函式，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴ ∴a∈(2,3).
答案：a
24.解析：由題意可知：xf(x)＜0
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
函式單調性奇偶性經典例題
下面四個結論 偶函式的圖象一定與y軸相交 奇函式的圖象一定通過原點 偶函式的圖象關於y軸對稱 既是奇函式又是偶函式的函式一定是f x 0 x r 其中正確命題的個數是 a 1 b 2 c 3 d 4 分析 偶函式的圖象關於y軸對稱，但不一定相交，因此 正確，錯誤 奇函式的圖象關於原點對稱，但不一定經...
《函式的單調性和奇偶性》經典例題
經典例題透析 型別一 函式的單調性的證明 1 證明函式上的單調性.證明 在 0，上任取x1 x2 x1 x2 令 x x2 x1 0 則 x1 0，x2 0，上式 0，y f x2 f x1 0 上遞減.總結昇華 1 證明函式單調性要求使用定義 2 如何比較兩個量的大小？作差 3 如何判斷乙個式子的...
函式單調性與奇偶性經典總結
一 函式單調性 1.增函式 減函式 時，都有，那麼就說函式在區間d上是增函式 如果對於定義域i內某個區間d上的任意兩個自變數的值，當時，都有，那麼就說函式在區間d上是減函式.注意 1 求函式的單調區間，必須先求函式的定義域.定義的變式 設那麼上是增函式 上是減函式.例 證明函式在上是增函式.變式與擴...