高考前最後知識梳理
5月份後半月期看看吧
由西華師範大學生命科學學院2011級整理
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1 元素與集合的關係:,.
2 集合的子集個數共有個;真子集有個;非空子集有個;非空的真子集有個.
3 二次函式的解析式的三種形式:
(1) 一般式;
(2) 頂點式;(當已知拋物線的頂點座標時,設為此式)
(3) 零點式;(當已知拋物線與軸的交點座標為時,設為此式)
(4)切線式:。(當已知拋物線與直線相切且切點的橫座標為時,設為此式)
4 真值表: 同真且真,同假或假
5 常見結論的否定形式;
6 四種命題的相互關係(下圖):(原命題與逆否命題同真同假;逆命題與否命題同真同假.)
原命題互逆逆命題
若p則若q則p
互互互為為互
否否逆逆 否否
否命題逆否命題
若非p則非q 互逆若非q則非p
充要條件: (1)、,則p是q的充分條件,反之,q是p的必要條件;
(2)、,且q ≠> p,則p是q的充分不必要條件;
(3)、p ≠> p ,且,則p是q的必要不充分條件;
4、p ≠> p ,且q ≠> p,則p是q的既不充分又不必要條件。
7 函式單調性:
增函式:(1)、文字描述是:y隨x的增大而增大。
(2)、數學符號表述是:設f(x)在xd上有定義,若對任意的,都有
成立,則就叫f(x)在xd上是增函式。d則就是f(x)的遞增區間。
減函式:(1)、文字描述是:y隨x的增大而減小。
(2)、數學符號表述是:設f(x)在xd上有定義,若對任意的,都有
成立,則就叫f(x)在xd上是減函式。d則就是f(x)的遞減區間。
單調性性質:(1)、增函式+增函式=增函式;(2)、減函式+減函式=減函式;
(3)、增函式-減函式=增函式;(4)、減函式-增函式=減函式;
注:上述結果中的函式的定義域一般情況下是要變的,是等號左邊兩個函式定義域的交集。
復合函式的單調性:
等價關係:
(1)設那麼
上是增函式;
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式;如果,則為減函式.
8函式的奇偶性:(注:是奇偶函式的前提條件是:定義域必須關於原點對稱)
奇函式:
定義:在前提條件下,若有,
則f(x)就是奇函式。
性質:(1)、奇函式的圖象關於原點對稱;
(2)、奇函式在x>0和x<0上具有相同的單調區間;
(3)、定義在r上的奇函式,有f(0)=0 .
偶函式:
定義:在前提條件下,若有,則f(x)就是偶函式。
性質:(1)、偶函式的圖象關於y軸對稱;
(2)、偶函式在x>0和x<0上具有相反的單調區間;
奇偶函式間的關係:
(1)、奇函式·偶函式=奇函式; (2)、奇函式·奇函式=偶函式;
(3)、偶奇函式·偶函式=偶函式; (4)、奇函式±奇函式=奇函式(也有例外得偶函式的)
(5)、偶函式±偶函式=偶函式; (6)、奇函式±偶函式=非奇非偶函式
奇函式的圖象關於原點對稱,偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來,如果乙個函式的圖象關於原點對稱,那麼這個函式是奇函式;如果乙個函式的圖象關於y軸對稱,那麼這個函式是偶函式.
9函式的週期性:
定義:對函式f(x),若存在t0,使得f(x+t)=f(x),則就叫f(x)是週期函式,其中,t是f(x)的乙個週期。
週期函式幾種常見的表述形式:
(1)、f(x+t)= - f(x),此時週期為2t ;
(2)、 f(x+m)=f(x+n),此時週期為2 ;
(3)、,此時週期為2m 。
10常見函式的影象:
11 對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
12 分數指數冪與根式的性質:
(1)(,且).
(2)(,且).
(3).
(4)當為奇數時,;當為偶數時,.
13 指數式與對數式的互化式: .
指數性質:
(1)1、 ; (2)、() ; (3)、
(4)、 ; (5)、 ;
指數函式:
(1)、在定義域內是單調遞增函式;
(2)、在定義域內是單調遞減函式。注: 指數函式圖象都恆過點(0,1)
對數性質:
(1)、;(2)、;
(3)、 ;(4)、; (5)、
(67)、
對數函式:
(1)、在定義域內是單調遞增函式;
(2)、在定義域內是單調遞減函式;注: 對數函式圖象都恆過點(1,0)
(3)、
(4)、或
14 對數的換底公式 : (,且, ,且,).
對數恒等式: (,且,).
推論(,且,).
15對數的四則運算法則:若a>0,a≠1,m>0,n>0,則
(1); (2);
(3); (4)。
16 平均增長率的問題(負增長時):
如果原來產值的基礎數為n,平均增長率為,則對於時間的總產值,有.
17 等差數列:
通項公式: (1),其中為首項,d為公差,n為項數,為末項。
(2)推廣:
(3) (注:該公式對任意數列都適用)
前n項和: (1);其中為首項,n為項數,為末項。
(2)(3) (注:該公式對任意數列都適用)
(4) (注:該公式對任意數列都適用)
常用性質:(1)、若m+n=p+q ,則有;
注:若的等差中項,則有2n、m、p成等差。
(2)、若、為等差數列,則為等差數列。
(3)、為等差數列,為其前n項和,則也成等差數列。
(4)、;
(5) 1+2+3+…+n=
等比數列:
通項公式:(1),其中為首項,n為項數,q為公比。
(2)推廣:
(3) (注:該公式對任意數列都適用)
前n項和:(1) (注:該公式對任意數列都適用)
(2) (注:該公式對任意數列都適用)
3)常用性質:(1)、若m+n=p+q ,則有;
注:若的等比中項,則有n、m、p成等比。
(2)、若、為等比數列,則為等比數列。
18分期付款(按揭貸款) :每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
19三角不等式:
(1)若,則.
(2) 若,則.
(3).
20 同角三角函式的基本關係式 :, =,
21 正弦、余弦的誘導公式(奇變偶不變,符號看象限)
22 和角與差角公式
;;.=
(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
23 二倍角公式及降冪公式 ..
24 三角函式的週期公式
函式,x∈r及函式,x∈r(a,ω,為常數,且a≠0)的週期;函式, (a,ω,為常數,且a≠0)的週期.
三角函式的影象:
25 正弦定理:(r為外接圓的半徑).
26餘弦定理:
;;.27面積定理:
(1)(分別表示a、b、c邊上的高).
(2).
(3).
28三角形內角和定理 :
在△abc中,有
.29實數與向量的積的運算律:設λ、μ為實數,那麼:
(1) 結合律
(2)第一分配律
(3)第二分配律
30與的數量積(或內積):·=||||。
31平面向量的座標運算:
(1)設=,=,則+=.
(2)設=,=,則-=.
(3)設a,b,則.
(4)設=,則=.
(5)設=,=,則·=.
32 兩向量的夾角公式:
(=,=).
33 平面兩點間的距離公式:
= (a,b).
34 向量的平行與垂直 :設=,=,且,則:
||=λ.(交叉相乘差為零)
()·=0.(對應相乘和為零)
35 線段的定比分公式 :設,,是線段的分點,是實數,且,則
().36三角形的重心座標公式: △abc三個頂點的座標分別為、、,則△abc的重心的座標是.
37三角形五「心」向量形式的充要條件:
設為所在平面上一點,角所對邊長分別為,則
(1)為的外心.
(2)為的重心.
(3)為的垂心.
(4)為的內心.
(5)為的的旁心.
38常用不等式:
(1) (當且僅當a=b時取「=」號).
(2) (當且僅當a=b時取「=」號).
(3)(4).
(5)(當且僅當a=b時取「=」號)。
39極值定理:已知都是正數,則有
(1)若積是定值,則當時和有最小值;
(2)若和是定值,則當時積有最大值.
(3)已知,若則有
。(4)已知,若則有
40 一元二次不等式,如果與同號,則其解集在兩根之外;如果與異號,則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外,異號兩根之間.即:;.
41 含有絕對值的不等式 :當a> 0時,有.或.
42 斜率公式 :
(、).
43 直線的五種方程:
(1)點斜式(直線過點,且斜率為).
(2)斜截式(b為直線在y軸上的截距).
(3)兩點式()(、()).
兩點式的推廣:(無任何限制條件!)
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距,)
(5)一般式(其中a、b不同時為0).
直線的法向量:,方向向量:
44 夾角公式:
(1). (,,)
(2).(, ,).
直線時,直線l1與l2的夾角是.
45到的角公式:
(1).(,,)
(2).(, ,).
直線時,直線l1到l2的角是.
46 點到直線的距離 : (點,直線:).
47 圓的四種方程:
(1)圓的標準方程.
(2)圓的一般方程(>0).
(3)圓的引數方程.
(4)圓的直徑式方程(圓的直徑的端點是、).
高中數學基礎知識
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