數學分析-高等數學(一)
從數學分析的課本講起吧.復旦自己的課本應該可以從六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本書在香港等地翻印後反應據說非常好,似乎丘成桐先生做學生的時候也曾收益與此.到90年代市面上還能看到的課本裡面,有一套陳傳璋先生等編的,可能就是上面的書的新版,交大的試點班有幾年就拿該書做教材.
另外有上海科技版的歐陽光中(谷先生的連襟),秦曾復,朱學炎三位編的課本,好象後來數學系不用了,計算機系倒還在用.那本書裡面據說積分的第二中值定理的陳述有點小錯.總的說來,這些書裡面都可以看到一本書的影子,就是菲赫今哥爾茨的"數學分析原理",其原因,按照秦老師的說法,是最初在搞教材建設的時候,北**的"模本"是辛欽的"數學分析簡明教程",而復旦則選了"數學分析原理".
後來自然有歐陽先生和姚允龍老師的那本數學分析.我不否認那是一種嘗試,但是感覺上總有點彆扭.以比較新的觀點來看數學分析這樣經典的內容在國際上的確是一種潮流,但是從這個意義上說該書做得並不是非常好.
而且從整體的課程體系上說,在後面有實變函式這樣一門課的情況下是否有必要引入lebesgue積分值得商榷.
數學分析-高等數學(二)
下面開始講一些課本,或者說參考書:
1.菲赫今哥爾茨---"微積分學教程","數學分析原理".
前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本;
後一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本.
此書堪稱經典.
"微積分學教程"其實連作者(莫斯科或者列寧格勒大學的教授,門下**無數,括
後來得諾貝爾經濟學獎的著名數學家kantorovitch)都承認不太合適作為教材,為此他才給出了能夠做教材的後一套書,可以說是乙個精簡的版本(有所補充的是在最後給出了乙個後續課程的簡介).
相信直到今天,很多老師在開課的時候還是會去找"微積分學教程",因為裡面的各種各樣的例題實在太多了.如果想比較紮實的打基礎的話,可以考慮把裡面的例題當做有答案的習題來做,當然不是每道題都可以這麼辦的.如果你全部做完了那裡的題目然後考試的時候碰到你做過的可別怪我.
毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數學分析內容(指不引入實變,泛函的觀念)的最高水平,考慮到在中國的印數就以十萬計,可能在世界範圍內也只有goursat的書可以與之相比了.
這兩套書在理圖裡面都有.
2.apostol---"mathematical analysis"
在西方(西歐和美國),這應該算得上是一本相當完整的課本了,在總書庫裡面有.
3.w.rudin---"prigogo"
(有中譯本:盧丁"數學分析原理",理圖里有)這也是一本相當不錯的書,後面我們可以看到,這位先生寫了乙個系列的教材.該書的**,(指一些符號,術語的運用)也是很好的.
這裡附帶說一句,因為在理基裡面當年念的是後來復旦出版社出的秦老師和餘躍年編的"高等數學",雖然我一向認為該書編的很是不好,但是在這裡想引秦老師的一句話,希望能對非數學專業的ddmm有所幫助:就是學完"高等數學"以後,可以找一本西方advanced calculus水平的書來看,基本上就能夠達到一般數學系的要求了.當時秦老師曾特別指出rudin的書.
說到advaced calculus,在這個標題下面有一本書也是可以一看的,就是l.loomis和s.sternberg的advanced calculus,其第一版在總書庫裡面有不少,第二版在理圖外國教材中心有一本,系資料室是不是有不清楚.
這本書的觀點還是很高的,畢竟是人家harvard的課本.
數學分析-高等數學(三)
4. (北大版)方企勤,沈燮昌等---"數學分析習題集","數學分析習題課教材".
北大的這套課本寫得還是可以的,不過最好的東西還是兩本關於習題的東西.大家知道,吉公尺多維奇並不是很適合數學系的學生的,畢竟大多是計算題(乙個比較有意思的地方是那套被廣大教師痛罵的習題解答其實有乙個題的第二小題是沒答案的,原因好象是編書的人也沒做出來,好象是關於級數收斂的乙個題目).相比之下北大的這本習題集就要好許多,的的確確值得一做.
那本習題課教材也是很有意思的書,包括一些相當困難的習題的解答,96年那會理圖裡面有一本,現在不知道怎麼樣了.
5.克萊鮑爾---"數學分析"
記得那是一本以習題的形式講分析的書,題目也很不錯.理圖里有.
6.張筑生---"數學分析新講"(共三冊)
我個人認為這是中國人寫的觀點最新的數學分析課本,張老師寫這書也實在是嘔心瀝血,手稿前後寫了差不多五遍.象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在後記中也引了"都雲作者痴,誰解其中味".
在這套書裡,對於許多材料的處理都和傳統的方法不太一樣.非常值得一讀.唯一的遺憾是,按照張老師本人的說法,北大出版社找了家根本不懂怎麼印數學書的印刷廠,所以版面不是很好看.
理圖里有.
數學分析-高等數學(四)
下面的一些書可能是比較"新穎"的.
7a.尼柯爾斯基---"數學分析(教程?)"
理圖里有,是清華的人翻譯的,好象沒翻全.那屬於80年代以後蘇聯的新潮流的代表,不管怎麼說,人家是蘇聯科學院院士.
7b."數學分析"
忘了是誰寫的了, 也是蘇聯的,莫斯科大學的教材.理圖裡面有第一卷的中譯本,分兩冊.那裡面從極限的**(對於拓撲基的)開始就能夠明顯得讓人感覺到觀點非常的"高".
8.狄多涅---"現代分析基礎(第一卷)"
那是一套二十世紀的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術語相當"高深",可能等以後學了實變,泛函再回過頭來看感覺會更好一些.
9.說兩句關於非數學專業的高等數學.
這裡強烈推薦理圖裡面幾本法國人寫的數學書.因為在法國高等教育系統裡面,對於最好的學生,中學畢業以後念的是兩年大學預科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數學(比如理圖裡面有j.dixmier院士的"高等數學"第一卷)或者叫"普通數學"(理圖裡面有一套書就是這個標題),其水平基本上介於國內數學系和物理系的數學課之間.
數學分析-高等數學(五)
10.再補充乙個技術性的小問題.對於函式項級數收斂,
一致收斂是充分而非必要的,有乙個充要條件叫"亞一致收斂性",在"微積分學教程"裡面提了一句,其詳細討論,似乎僅見於魯金(lusin)的"實變函式論"裡面,總書庫裡面有.
11.華羅庚---"高等數學引論"第一卷
這套書(其實沒有完成最初的計畫)是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對科大學生開課時的講義.那時候他們做過乙個實驗,就是乙個教授負責一屆學生的教學,所以華先生這書裡面其實是涉及很多方面的(附帶提一句,另外兩位負責過一屆學生的是關肇直先生和吳文俊先生).也是出於一種嘗試吧,華先生這書裡面有一些不屬於傳統教學內容的東西,還包括一些應用.
可以一讀.理圖里有.
12.何琛,史濟懷,徐森林---"數學分析"
這應該是科大的教材,雖然好象影響不是很大,我本人還是很喜歡的,高一的時候第一次學數分就是用的這套書,感覺是條理清晰,配的習題也很好.印刷質量也相當不錯.可惜的是學校裡面沒有,所以放在最後.
空間解析幾何(上)
空間解析幾何實在是一門太經典,或者說古典的課.從教學內容上說,可以認為它描述的主要是三維歐氏空間裡面的一些基本常識,包括最基本的線性變換(那是線性代數的特例),和二階曲面的不變數理論.在現行的復旦的教材,蘇先生,胡先生他們編的"空間解析幾何"裡面,最後還有一章講射影幾何.
這本書非常之薄.但是內容還是比較豐富的.特別是有些習題並不是非常容易.最後一章射影的內容還不是很好念的.當然,這裡還要提到十來年前大概做過教材的一本書:
項武義,潘養廉等---"古典幾何學".
這書的內容與課本不是很一樣,不過處理方法還是很不錯的.項先生應當算做很能侃的那種型別的.
可以考慮的參考書包括:
1.陳(受鳥)---"空間解析幾何學"
內容基本上和課本差不多,不過要厚許多,自然要好念點.陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開多年的教務長)的夫人,也是中國早期留學海外的女學者.
2.朱鼎勳---"解析幾何學"
這本書基本上只在歐氏空間裡面討論問題.優點是非常易懂,連二維的不變數理論也在附錄裡面交代得異常清楚.那裡面的習題也比較合理,不是非常的難(如果我沒有記錯的話).
朱先生相當有才華,可惜英年早逝.
數學分析-高等數學(補)
關於數學分析的習題,還有一本書,就是
g.polya(波利亞),g.szego(舍貴)
"數學分析中的問題和定理"
在學習數學分析的階段,可以考慮其第一卷的前面一半,後面就全是復變的東西了.該書的內容還是非常豐富的.在歷史上,這是一套曾經使好幾代數學家都受益匪淺的經典著作.
這套書的乙個好處就是題目難歸難,後面還是有答案或提示的.
"微積分學教程"的第一卷有一冊在理圖裡面似乎很少,
到總書庫裡面去看看吧!
loomis-sternberg的書的書號是o172 l863
空間解析幾何(下)
如果想了解比較"新"的動態,可以考慮
3.postnikov---"解析幾何學與線性代數(?)"(第一學期)
這是莫斯科大學新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作為對剛進大學的學生的乙個引導,給出一些具體的物件的話,遲早是要給吃到線性代數裡面去的.海外教材中心有一本英文本.
我個人以為,現在教委的減輕學生負擔的做法遲早是要遭報應的.中國的中學教育水平也就比美國最糟糕的中學好點,從整體上說,比整個歐洲都要差.我相信所謂三維的"解析"幾何的內容總有一天要下放到高中裡面去.
上面的書如果撐不飽你,你又不想學其它的課程的話.可以考慮下面兩本經典.其好處是看過以後可以對很多幾何物件(當然具體說是指三維空間裡面的二次曲面)有相當深刻的了解.
4.狄隆涅---"(解析)幾何學"
這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論,記得五年前看的時候感覺非常有意思.這位蘇聯科學院院士真是夠能寫的.總書庫裡面有.
5.穆斯海浬什維利---"解析幾何學教程"
這套書在上面提到的陳先生的書裡面就多次引用了.具體的說特別值得參考的是它裡面關於射影的一些觀點和**(比如認為橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已).
高等代數-線性代數(一)
高等代數可以認為處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴格一點,關於線性空間的理論應該叫線性代數,再加上一點多項式理論(就是可以完完全全算做代數的內容的)就叫高等代數了.這門課在西方的對應一般叫linear algebra,就是蘇聯人喜歡用高等這個詞,你可以在外國教材中心裡面找到一本kurosh(庫落什)的higher algebra.
現在用的課本好象是北大的"高等代數"(第二版?).用外校的課本在基礎課裡面是不常見的.
這本書可以說是四平八穩,基本上該講的都講了.但是你要說它有什麼地方講的特別好,恐怕說不出來.值得注意的是95-96學年度,北大現在的校黨委組織部長王傑老師(段學復先生的**)給北大數學科學學院95級1班開課時曾經寫過一本補充材料,把空間理論的講得非常清楚.
如果誰能搞到的話翻印出來是件很好的事情(我的那本舒五昌老師給96開課的時候送給他了,估計是找不到了).
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