第一節不等關係與不等式
基礎盤查一兩個實數比較大小的方法
(一)循綱憶知
1．了解現實世界和日常生活中的不等關係；
2．了解不等式(組)的實際背景．
(二)小題查驗
判斷正誤
(1)不等關係是通過不等式來體現的，離開了不等式，不等關係就無從體現( )
(2)兩個實數a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關係中的一種( )
(3)若＞1，則a＞b( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
基礎盤查二不等式的基本性質
(一)循綱憶知
掌握不等式的性質及應用．
(二)小題查驗
1．判斷正誤
(1)乙個不等式的兩邊同加上或同乘以同乙個數，不等號方向不變( )
(2)乙個非零實數越大，則其倒數就越小( )
(3)同向不等式具有可加和可乘性( )
(4)a＞b＞0，c＞d＞0＞( )
(5)若ab＞0，則a＞b＜
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(人教a版教材習題改編)用不等號「＞」或「＜」填空：
(1)a＞b，c＜da－c________b－d；
(2)a＞b＞0，c＜d＜0ac________bd；
(3)a＞b＞0________；
(4)a＞b＞0________.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
(基礎送分型考點——自主練透)
[必備知識]
兩個實數比較大小的法則
[題組練透]
1．已知a1，a2∈(0,1)，記m＝a1a2，n＝a1＋a2－1，則m與n的大小關係是( )
a．mn
c．m＝n d．不確定
解析：選b m－n＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即m－n>0.
∴m >n.
2.若a＝，b＝，則a____b(填「＞」或「＜」)．
解析：易知a，b都是正數，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
3．若實數a≠1，比較a＋2與的大小．
解：∵a＋2－＝＝.
∴當a>1時，a＋2>；
當a<1時，a＋2<.
[類題通法]
比較兩個數(式)大小的兩種方法
(1)比較大小時，要把各種可能的情況都考慮進去，對不確定的因素需進行分類討論，每一步運算都要準確，每一步推理都要有充分的依據．
(2)用作商法比較代數式的大小一般適用於分式、指數式、對數式，作商只是思路，關鍵是化簡變形，從而使結果能夠與1比較大小．
(重點保分型考點——師生共研)
[必備知識]
1．不等式的基本性質
(1)對稱性：a>bb(2)傳遞性：a>b，b>ca>c.
(3)可加性：a>ba＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac(5)加法法則：a>b，c>da＋c>b＋d.
(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0ac>bd.
(7)乘方法則：a>b>0an>bn(n∈n，n≥2)．
(8)開方法則：a>b>0> (n∈n，n≥2)．
2．不等式的倒數性質
(1)a>b，ab>0<.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
[提醒] 不等式兩邊同乘數c時，要特別注意「乘數c的符號」．
[典題例析]
1．(2013·天津高考)設a，b∈r則「(a－b)·a2<0」是「aa．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
解析：選a (a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以「(a－b)·a2＜0」是「a＜b」的充分而不必要條件．
2．(2015·西寧二模)已知a，b，c∈r，那麼下列命題中正確的是( )
a．若a＞b，則ac2＞bc2
b．若＞，則a＞b
c．若a3＞b3且ab＜0，則＞
d．若a2＞b2且ab＞0，則＜
解析：選c 當c＝0時，可知a不正確；當c＜0時，可知b不正確；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，c正確；當a＜0且b＜0時，可知d不正確．
[類題通法]
(1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質．
(2)在判斷乙個關於不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯絡起來考慮，找到與命題相近的性質，並應用性質判斷命題真假，當然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數函式，指數函式的性質等．
[演練衝關]
1．若a>b>0，則下列不等式不成立的是( )
a. < b．|a|>|b|
c．a＋b<2 d. a解析：選c ∵a>b>0，∴ <，且|a|>|b|，a＋b>2，又2a>2b，∴ a2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論：
①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的個數是( )
a．1 b．2
c．3 d．4
解析：選c 法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①錯誤．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，
故②正確．
∵c＜d，∴－c＞－d，
∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，
a－c＞b－d，故③正確．
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，
故④正確，故選c.
法二：取特殊值．
(題點多變型考點——全面發掘)
[一題多變]
[典型母題]
[題點發散1] 若本例中條件變為：已知函式f(x)＝ax2＋bx，且1解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1)．
又∵1∴5<3f(－1)＋f(1)<10，
故5故f(－2)的取值範圍為(5,10)．
[題點發散2] 若本例條件不變，求2a－3b的取值範圍．
解：設2a－3b＝m(a＋b)＋n(a－b)
則由待定係數法可得解得
所以2a－3b＝－(a＋b)＋(a－b)
＝－f(1)＋f(－1)
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴－2≤－f(1)≤－1，≤f(－1)≤5，
∴≤2a－3b≤4.
故2a－3b的取值範圍為.
[類題通法]
利用不等式性質可以求某些代數式的取值範圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變數的取值範圍．解決的途徑是先建立所求範圍的整體與已知範圍的整體的等量關係，最後通過「一次性」不等關係的運算求解範圍．
一、選擇題
1．設a，b∈[0，＋∞)，a＝＋，b＝，則a，b的大小關係是( )
a．a≤bb．a≥b
c．a＜b d．a＞b
解析：選b 由題意得，b2－a2＝－2≤0，且a≥0，b≥0，可得a≥b，故選b.
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是( )
a．－n＜m＜n＜－m b．－n＜m＜－m＜n
c．m＜－n＜－m＜n d．m＜－n＜n＜－m
解析：選d 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項檢驗即可．
法二：m＋n＜0m＜－nn＜－m，又由於m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3．(2015·西安檢測)設α∈，β∈，那麼2α－的取值範圍是( )
a. b.
c．(0，π) d.
解析： 選d 由題設得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.
4．在所給的四個條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出《成立的有( )
a．1個 b．2個
c．3個 d．4個
解析：選c 《成立，即<0成立，逐個驗證可得，①②④滿足題意．
5．若<<0，則下列結論不正確的是( )
a．a2c．a＋b<0 d．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：選d ∵<<0，∴0>a>b.
∴a26．(2015·北京平谷模擬)已知a，b，c，d均為實數，有下列命題：
①若ab＞0，bc－ad＞0，則－＞0；
②若ab＞0，－＞0，則bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，則ab＞0.
其中正確命題的個數是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：選d ∵ab＞0，bc－ad＞0，
∴－＝＞0，∴①正確；
∵ab＞0，又－＞0，即＞0，
∴bc－ad＞0，∴②正確；
∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0，
∴ab＞0，∴③正確．故選d.
二、填空題
7．已知a，b，c∈r，有以下命題：
①若a>b，則ac2>bc2；②若ac2>bc2，則a>b；
③若a>b，則a·2c>b·2c.
其中正確命題的序號是
解析：①若c＝0則命題不成立．②正確．③中由2c>0知成立．
答案：②③
8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，則α－|β|的取值範圍是________．
解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.
∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)
9．已知a＋b＞0，則＋與＋的大小關係是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
10．已知存在實數a滿足ab2>a>ab，則實數b的取值範圍是________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
當a>0時，有b2>1>b，即解得b<－1；
第六章不等式推理與證明
時間120分鐘，滿分150分 一 選擇題 本大題共12小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 不等式 x 1 0的解集是 a b c d 解析 0，x 1.同時x 1 0，即x 1.x 1.答案 b 2 下列命題中的真命題是 a 若a b，c d，則ac ...
6 5第六章不等式 推理與證明
課後課時作業 a組 基礎達標練 1 2015 鷹潭二模 x 表示不超過x的最大整數，例如 3.s13s210 s321，依此規律，那麼s10等於 a 210 b 230 c 220 d 240 答案 a 解析 x 表示不超過x的最大整數，s11 3 3，s22 5 10，s33 7 21，snn 2...
6 1第六章不等式 推理與證明
課後課時作業 a組 基礎達標練 1 2016 成都模擬 已知a，b為非零實數，且aa a2a2b c.d.答案 c 解析由a2 2015 嘉興模擬 設m x2，n x 1，則m與n的大小關係是 a m n b m n c m答案 a 解析作差法，m n x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 0，...