1、如圖，已知在側稜垂直於底面三稜柱中，，，，，點是的中點.
（1）求證：；
（2）求證：
（3）求三稜錐的體積.
2、如圖，在三稜錐中，點分別是稜的中點．
(1)求證：//平面；
(2)若平面平面，，求證：．
3、如圖，在三稜錐中，，平面，,分別為,的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
4、如圖，已知四邊形abcd是矩形，pa⊥平面abcd，m,n分別是ab,pc的中點.
(1)求證：mn∥平面pad；
(2)求證：mn⊥dc；
參***
1、【答案】（1）證明：在中，由勾股定理得
為直角三角形，即．又面，，，面，；
（2）證明：設交於點，則為的中點，連線，則為的中位線，
則在中，∥，又面，則∥面；
(3).
（1）由勾股定理得，由麵得到，從而得到面，故；（2）連線交於點，則為的中位線，得到∥，從而得到∥面；（3）過作垂足為，面，面積法求，求出三角形的面積，代入體積公式進行運算.
（1）證明：在中，由勾股定理得為直角三角形，即．
又面，，，面，.
（2）證明：設交於點，則為的中點，連線，則為的中位線，
則在中，∥，又面，則∥面．
（3）在中過作垂足為，
由麵⊥面知，面，．
而，，.
2、【答案】
（1）題中條件出現了兩個中點，故可考慮利用三角形中位線得到線線平行從而得到線面平行：即有，平面，平面，平面；（2）由題中條件平面平面，故可首先由麵麵垂直得到線面垂直，因此在平面內過點作，垂足為，則有平面，結合條件，可得平面，從而.
（1）在中，∵、分別是、的中點，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）如圖，在平面內過點作，垂足為．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴．
3、【答案】（1）見解析；（2）見解析
（1）由e、f分別為pb、pc中點根據三角形中位線定理知ef∥bc，根據線面平行的判定知ef∥面abc；（2）由pa⊥面pabc知，pa⊥bc，結合ab⊥bc，由線面垂直的判定定理知，bc⊥面pab，由（1）知ef∥bc，根據線面垂直性質有ef⊥面pab，再由麵麵垂直判定定理即可證明面aef⊥面pab.
證明:（1）在中，分別為的中點
又平面，平面平面
（2）由條件，平面，平面
，即，由，，
又，都在平面內平面
又平面平面平面
4、【答案】
（1）令e為pd的中點，連線ae，ne，根據三角形中位線定理，及中點的定義，我們易判斷mn∥ae，結合線面平行的判定定理，即可得到mn∥平面pad；
（2）根據已知中，四邊形abcd是矩形，pa⊥平面abcd，我們易結合線面垂直的判定定理，得到dc⊥平面pad，進而得到dc⊥ae，由（1）中ae∥mn，根據兩條平行線與同一條直線的夾角相等，即可得到結論．
（1）設pd的中點為e，連ae,ne，則易得四邊形amne是平行四邊形，則mn∥ae，
，所以mn∥平面pad
（2）∵pa⊥平面abcd，cd，∴pa⊥cd
又ad⊥cd,pa∩da=a，∴cd平面pad，∵
∴cd⊥ae∵mn∥ae∴mn⊥dc
立體幾何平行與垂直證明
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