若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根
若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解
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韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對乙個一元n次方程∑aix^i=0
它的根記作x1,x2…,xn
我們有∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求積。
如果一元二次方程
在複數集中的根是，那麼
由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在複數集中必有根。因此，該方程的左端可以在複數範圍內分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在2023年才由高斯作出第乙個實質性的論性。
(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項係數為1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三項式的因式分解(公式法)
在分解二次三項式ax^2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1,x2，那麼ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
另外這與射影定理是初中必須
射影定理圖
掌握的.
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設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑aix^i=0的n個解。
則有：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：an(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑aix^i （在開啟(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過係數對比可得：
a（n-1）=-an(∑xi)
a（n-2）=an(∑xixj)
…a0==(-1)^n*an*πxi
所以：∑xi=(-1)^1*a(n-1)/a(n)
∑xixj=(-1)^2*a(n-2)/a(n)
…πxi=(-1)^n*a(0)/a(n)
其中∑是求和，π是求積。
有關韋達定理的經典例題
例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數根．
(』94祖沖之杯數學邀請賽試題)
解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得
x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
於是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，
即x1x2－x1－x2＋1＝199．
∴(x1－1)(x2－1)＝199．
注意到x1－1、x2－1均為整數，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．
例2 已知關於x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數，求m的值．
解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得
x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．
於是x1x2＋x1＋x2＝11，
即(x1＋1)(x2＋1)＝12．
∵x1、x2為正整數，
解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．
故有m＝6或7．
例3 求實數k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數．
解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．
若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，由韋達定理得
∴x1x2－x1－x2＝2，
(x1－1)(x2－1)＝3．
因為x1－1、x2－1均為整數，所以
例4 已知二次函式y＝－x2＋px＋q的影象與x軸交於(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．
(』97四川省初中數學競賽試題)
證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達定理得
α＋β＝p，αβ＝－q．
於是p＋q＝α＋β－αβ，
1)＋1
＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．
韋達定理專題
根的判別式與韋達定理專題 課標要求 一根的判別式及應用 b2 4ac 一元二次方程的根的判別式為 根的判別式的應用 當時方程有兩個實數根。當時，方程有兩個不相等的實數根 當時，方程有兩個相等的實數根。當時方程沒有實數根。1 判定一元二次方程根的情況。2 確定字母的值或取值範圍。例1 不解方程，判斷下...
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