2023年全國各地高考數學真題分章節分類彙編
第17部分:推理與證明
一、填空題：
1．（2023年高考陝西卷理科12）觀察下列等式：，根據上述規律，第五個等式為.
【解析】（方法一）∵所給等式左邊的底數依次分別為；；，右邊的底數依次分別為（注意：這裡），∴由底數內在規律可知：第五個等式左邊的底數為，右邊的底數為.
又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個等式為
.（方法二）∵易知第五個等式的左邊為，且化簡後等於，而，故易知第五個等式為.
二、解答題：
1.(2023年高考數學湖北卷理科20） (本小題滿分13分)
已知數列滿足:, ,；數列滿足： =-（n≥1）.
(ⅰ)求數列，的通項公式;
(ⅱ)證明:數列中的任意三項不可能成等差數列.
2. （22）（ 2023年高考全國卷i理科22）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）
已知數列中， .
（ⅰ）設，求數列的通項公式；
（ⅱ）求使不等式成立的的取值範圍 .
【命題意圖】本小題主要考查數列的通項公式、等比數列的定義、遞推數列、不等式等基礎知識和基本技能，同時考查分析、歸納、**和推理論證問題的能力,在解題過程中也滲透了對函式與方程思想、化歸與轉化思想的考查.
【解析】
（ⅱ）用數學歸納法證明：當時.
（ⅰ）當時，，命題成立；
3．（2023年高考四川卷理科22）（本小題滿分14分）
設（且），g(x)是f(x)的反函式.
（ⅰ）設關於的方程求在區間[2，6]上有實數解，求t的取值範圍；
（ⅱ）當a＝e（e為自然對數的底數）時，證明：；
（ⅲ）當0＜a≤時，試比較與4的大小，並說明理由.
4．（2023年高考江蘇卷試題23）（本小題滿分10分）
已知△abc的三邊長都是有理數。
（1）求證cosa是有理數；（2）求證：對任意正整數n，cosna是有理數。
[解析] 本題主要考查餘弦定理、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。
（方法一）（1）證明：設三邊長分別為，，∵是有理數，
是有理數，分母為正有理數，又有理數集對於除法的具有封閉性，
∴必為有理數，∴cosa是有理數。
（2）①當時，顯然cosa是有理數；
當時，∵，因為cosa是有理數， ∴也是有理數；
②假設當時，結論成立，即coska、均是有理數。
當時，，，，
解得：∵cosa，，均是有理數，∴是有理數，
∴是有理數。
即當時，結論成立。
綜上所述，對於任意正整數n，cosna是有理數。
（方法二）證明：（1）由ab、bc、ac為有理數及餘弦定理知
是有理數。
（2）用數學歸納法證明cosna和都是有理數。
①當時，由（1）知是有理數，從而有也是有理數。
②假設當時，和都是有理數。
當時，由，
，及①和歸納假設，知和都是有理數。
即當時，結論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數n，cosna是有理數。
5．（2023年高考江西卷理科22）（本小題滿分14分）
證明以下命題：
（1）對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列；
（2）存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列.
22．（本小題滿分14分）
證明：（1）易知成等差數列，故也成等差數列，
所以對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列．
（2）若成等差數列，則有，
即選取關於的乙個多項式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由於
因此令，可得
易驗證滿足①，因此成等差數列，
當時，有且
因此為邊可以構成三角形．
其次，任取正整數，假若三角形與相似，則有：
，據比例性質有：
所以，由此可得，與假設矛盾，
即任兩個三角形與互不相似，
所以存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列．
6．(2023年高考全國2卷理數18）（本小題滿分12分）
已知數列的前項和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）證明：．
【命題意圖】本試題主要考查數列基本公式的運用，數列極限和數列不等式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力.[**:z&xx&
【參***】
【點評】2023年高考數學全國i、ⅱ這兩套試卷都將數列題前置,一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.
估計以後的高考，對數列的考查主要涉及數列的基本公式、基本性質、遞推數列、數列求和、數列極限、簡單的數列不等式證明等，這種考查方式還要持續.
7. (2023年高考重慶市理科21) (本小題滿分12分，(ⅰ)小問5分，(ⅱ)小問7分．)
在數列中，，其中實數．
(ⅰ) 求的通項公式；
(ⅱ) 若對一切有，求c的取值範圍．
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