一元二次方程的應用（一）
1．數字問題
2．幾何圖形問題
列方程解應用題是初中代數的重點內容，學習掌握數學知識的目的在於應用，用以解決工作生活中遇到的實際問題．近幾年，中考試卷中的應用問題必不可少，考查題型多見工程問題、行程問題、平均增長率（降低率）問題、面積問題等貼近現實生活的實際問題，同學們一定要認真學習，打好基礎，提高邏輯思維，分析問題的能力和用數學的意識．
二．重點內容分析與講解
1．列一元二次方程解應用題的一般步驟和列一元一次方程解應用題一樣，列一元二次方程解應用題的一般步驟可歸結為「審，設，列，解，驗，答」．我們複習如下：
（1）審：是指讀懂題目，審清題意，特別是問題的實際背景明確哪些是已知的，哪些是未知的，以及它們之間的數量關係．
（2）設：是指設元，也就是設未知數，設元又分直接設元和間接設元，所謂直接設元就是問什麼設什麼，如果直接設元，方程比較難列或列出的方程比較複雜，這時可以考慮間接設元，間接設元雖然所設未知數不是我們所要求的，但由於對列方程有利，因此間接設元也十分重要．
（3）列：就是列方程，這是最重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關係．再根據這個關係列出含有未知數的等式．即方程．
（4）解：就是求出所列方程的解．
（5）驗：檢驗分為兩層含義．
①檢驗方程的根是否有意義．在列一元二次方程時不會遇到．
②檢驗求得的解是否符合應用題的實際意義．
（6）答：就是完整書寫答話．
以上六個步驟缺一不可，其中，審題是基礎，列方程是關鍵．
2．列方程解應用題應該注意的一些問題
（1）要注意各類應用題中常用的等量關係，例如面積問題中有關的面積公式，還要注意挖掘題目中的隱含的等量關係．
（2）注意語言和代數表示式的互化．題目中有些條件是通過語言給出的，只有把它轉化成代數式才能為列方程服務．
（3）注意從語言敘述中寫出等量關係．
（4）注意單位問題，一是在設元時必須寫清單位，用對單位，例如不要把速度單位寫成路程單位．二是在列方程時，要注意方程兩邊的單位必一致．
注意：「設」和「答」都需要寫清數量的單位．
典型例題講解
1．數字問題應用題解法．
例1．兩個連續奇數的積是899，求這兩個數．
分析：本題考查用一元二次方程求解的數字問題，正確理解連續奇數的意義是解題關鍵．
解：設較小的乙個奇數為x，則另乙個為x+2．
根據題意得：
x(x+2)=899
x2+2x-899=0
(x-29)(x+31)=0
x1=29 x2=-31
由x=29得 x+2=31
由x=-31得x+2=-29
答：這兩個奇數是29、31或者-31、-29．
注意：因為在負數範圍內也存在奇數，所以本題解出的值不能隨意捨去．
例2．乙個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個數的個位數字與十位數字對調後，所得的新的兩位數與原來的兩位數的乘積為736，求原來的兩位數．
解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為5-x．
根據題意得
[10x+(5-x)]·[10(5-x)+x]=736
x2-5x+6=0
x-2)(x-3)=0
x1=2 x2=3
當x=2時，5-x=3，符合題意，原兩位數是23
當x=3時，5-x=2，符合題意，原兩位數是32
答：原來的兩位數是23或32．
例3．三個連續整數，最大數的立方與最小數的立方之差比中間數的40倍大16，求這三個數．
解：設這三個數是x-1，x，x+1
根據題意，列方程
x+1)3-(x-1)3=40x+16
[(x+1)-(x-1)][(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2]=40x+16
2(3x2+1)=40x+16
3x2-20x-7=0
x-7)(3x+1)=0
當x=7時，x-1=6 x+1=8
答：這三個數是6、7、8．
例4．有兩個自然數，其差是94，某學生作此兩數之積時，將其積的十位上少算了4，他又用這兩個數中較大者除所得的錯誤積數得商52餘107，求此二數．
分析：根據商及餘數的意義，可以知道，被除數=除數×商+餘數．
解：設兩數中較大者是x，則較小者為x-94
根據題意，列方程：
x(x-94)-40=52x+107
x2-146x-147=0
(x-147)(x+1)=0
∴x1=147 x2=-1（不合題意，捨去）
當x=147時，x-94=53
答：此兩數是147和53．
注意：十位數上少算4，實際上錯誤積比真實際少算40．
例5．乙個兩位數，其值等於其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求此兩位數．
解：設十位數字是x，則個位數字是x+2
10x+x+2=3x(x+2)
11x+2=3x2+6x
3x2-5x-2=0
(x-2)(3x+1)=0
當x=2時，x+2=4
答：這個兩位數是24．
2．幾何圖形問題的應用題解法
例1．把100厘公尺長的鉛絲折成乙個長方形模型.（1）要使這個長方形的面積是525平方厘公尺，它的長和寬應該各是多少厘公尺？（2）面積是625平方厘公尺呢？
（3）面積是700平方厘公尺呢？
解： （1）當長方形的面積是525平方厘公尺時，根據題意，列得方程：
x(50-x)=525,
x2-50x+525=0,
(x-15)(x-35)=0,
∴x1=15, x2=35
（2）當長方形的面積是625平方厘公尺時，根據題意，列得方程：
x(50-x)=625,
x2-50x+625=0,
(x-25)2=0,
∴x1=x2=25.
（3）當長方形的面積是700平方厘公尺時，根據題意，列出方程：
x(50-x)=700,
x2-50x+700=0,
∴這個方程沒有實數解.
答：（1）這個長方形模型的長是35厘公尺，寬是15厘公尺；
（2）這個長方形模型的長和寬都是25厘公尺，這時做成乙個正方形.
（3）要用100厘公尺長的鉛絲做成乙個面積是700平方厘公尺的長方形，是不可能的.
注：在問題（1）中，按照方程的解，可以得出長方形的長是35厘公尺，寬是15厘公尺，或者長是15厘公尺，寬是35厘公尺，但是這表明是同一大小的長方形，因此只要回答一種結果，不必重複.
例2．一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示，要在這塊地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠，如果水渠的寬相等，而且要保證餘下的可耕地面積為9600m2，那麼水渠應挖多寬？
分析：本題考查應用方程知識解決實際問題．這類問題的特點是，挖渠所占用土地面積只與挖渠的條數、渠道的寬度有關，而與渠道的位置無關，為了研究問題方便可分別把沿東西和南北方向挖的渠道移動到一起．（最好靠一邊）如下圖所示，那麼剩餘可耕的長方形土地的長為(162-2x)m，寬為(64-4x)m．
解：設水渠應挖xm寬，依題意得：
(162-2x)(64-4x)=9600
化簡得 x2-97x+96=0
x1=1 x2=96（捨去）
答：水渠應挖1m寬．
例3．有一塊長方形的鉛皮，長40厘公尺，寬30厘公尺.現在把它的四角各剪去乙個小方塊，然後把四邊摺起來做成乙隻沒有蓋的盒子，使這個盒子的底面積是原來鉛皮面積的一半，求這盒子的高.
解：設盒子的高是x厘公尺，因為小方塊每邊長x厘公尺，所以盒子的長和寬分別是(40-2x)厘公尺和(30-2x)厘公尺.
根據題意，列得方程：
x1=30和x=5雖然都是正數，但是只有x=5是適合題目條件的，因為如果盒子的高是30厘公尺，那麼鉛皮的兩邊各要剪去60厘公尺，而原來鉛皮的長和寬分別只有40厘公尺和30厘公尺，顯然這是不合題意的.
答：盒子的高是5厘公尺.
例4．有一面積為150公尺2的長方形雞場，雞場一邊靠牆（牆長18公尺），另三邊用竹籬笆圍成.如果竹籬笆的長為35公尺.求雞場的長與寬各為多少公尺.
解：設垂直於牆面的邊為x公尺，則另一邊為（35-2x）公尺.
根據題意，列出方程：
答：雞場長為15公尺，寬為10公尺.
例5．將一塊鐵皮剪成中部為乙個正方形，兩邊突出部分是兩個小正方形（相同）.如果其全面積是72cm2，全周長是40cm，求大小正方形邊長是多少厘公尺？
解：設大正方形邊長是xcm. 則小正方形邊長為
依據題意，列出方程：
注：本題在表示小正方形邊長時，可以這樣理解：將小正方形的一邊放在虛線位置，將大正方形補全.這樣，兩個小正方形的四條邊長之和是（40-4x）cm.
四．練習題
a組1．兩個數的差是2，積是15，求這兩個數．
2．三個連續偶數，使第三個數的平方等於前兩個數的平方和．求這三個數．
3．有乙個兩位數，它的個位數字與十位數字的和為8，如果把個位數字與十位數字對調，所得的兩位數乘以原來的兩位數就是1855，問原來的兩位數是多少？
4．兩個正方形，小正方形的邊長比大正方形的邊長的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍少32cm2，求大小兩個正方形的邊長？
b組1．把乙個長方形鐵皮的四角剪去四塊邊長5cm的正方形組成乙個無蓋的長方體，長方體的體積是3000cm3，鐵皮長和寬的比為4：3，求這塊鐵皮的長和寬是多少厘公尺？
2．利用27m長的牆為一邊，再用70m長的籬笆圍成乙個面積為528m2的長方形雞場，求雞場的長和寬各是多少？
解答：a組
1．解設乙個數為x，則另乙個數為x-2
由題意：x(x-2)=15
x2-2x-15=0
x-5)(x+3)=0
x1=5 x2=-3
當x=5時 x-2=3
當x=-3時 x-2=-5
一元二次方程的應用
1 某商亭十月份營業額為5000元，十二月份上公升到7200元，平均每月增長的百分率是 2 某商品連續兩次降價10 後的 為a元，該商品的原價應為 3 某工廠第一季度生產機器a臺，第二季度生產機器b臺，第二季度比第一季度增長的百分率是 4 某工廠今年利潤為a萬元，比去年增長10 去年的利潤為萬元。5...
一元二次方程的應用
分式方程應用 1 若關於x的方程 0有增根，則m的值是 a 3 b 2 c 1 d 1 2 有兩塊面積相同的小麥試驗田，分別收穫小麥9000kg 和15000kg 已知第一塊試驗田每公頃的產量比第二塊少3000kg，若設第一塊試驗田每公頃的產量為xkg，根據題意，可得方程 3 已知方程有增根，則這個...
一元二次方程的應用題
稅收 問題 1.某市供電公司規定，本公司職工，每戶乙個月用電量若不超過千瓦 時，則乙個月的電費只要交10元，若超過千瓦 時，則除了交10元外，超過部分每千瓦 時還要交元.一戶職工三月份用電80千瓦 時，交電費25元 四月份用電5千瓦 時，交電費10元，試求的值.勾股定理的應用 1.從前有一天，乙個醉...