經典例題講解：
已知，，求
（1）（2）
（3）（4）
（5）練習
1.不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差：
（1） （2） （3）
2.已知關於的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說明理由。
3.已知方程，作乙個新的一元二次方程，使它的根分別是已知方程各根的平方的倒數。
4. 解方程組
一、直接應用韋達定理
若已知條件或待證結論中含有a＋b和a·b形式的式子，可考慮直接應用韋達定理．
例1 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．於是a和b可視為該一元二次方程的兩個根．再觀察待求式的結構，容易想到直接應用韋達定理求解．
解：由已知可構造乙個一元二次方程x2＋x－1=0，其二根為a、b．
由韋達定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等變形，再應用韋達定理
若已知條件或待證結論，經過恒等變形或換元等方法，構造出形如a＋b、a·b形式的式子，則可考慮應用韋達定理．
例2 若實數x、y、z滿足x＝6－y，z2＝xy－9．求證：x＝y．
證明：將已知二式變形為x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韋達定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的兩個根．
∵ x、y是實數，∴△＝36－4z2－36≥0．
則z2≤0，又∵z為實數，
∴z2＝0，即△＝0．
於是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
例3 已知
由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的兩個根，由韋達定理
三、已知一元二次方程兩根的關係(或係數關係)求係數關係(或求兩根的關係)，可考慮用韋達定理
例4 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比為1∶2，方程的判別式的值為1．求p與q之值，解此方程．
解：設x2＋px＋q＝0的兩根為a、2a，則由韋達定理，有
a＋2a＝－p， ①
a·2a＝q， ②
p2－4q＝1． ③
把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，於是a=±1．
∴ 方程為x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．
例5 設方程x2＋px＋q＝0的兩根之差等於方程x2＋qx＋p＝0的兩根之差，求證：p＝q或p＋q＝－4．
證明：設方程x2＋px＋q＝0的兩根為α、β，x2＋qx＋p＝0的兩根為α＇、β＇．
由題意知
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．
從而有(α＋β)2－42－4α＇β＇．①
把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．
故p－q＝0或p＋q＋4＝0，
即p＝q或p＋q＝－4．
四、關於兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮用韋達定理
例6 問m為值時，方程x2＋mx－3＝0與方程x2－4x－(m－1)＝0有乙個公共根？並求出這個公共根．
解：設公共根為α，易知，原方程x2+mx－3＝0的兩根為α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的兩根為α、4－α．
由韋達定理，得α(m＋α)＝3， ①
α(4－α)＝－(m－1)． ②
由②得m＝1－4α＋α2， ③
把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，
即(α－3)(α2＋1)＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m＝－2．
故當m＝－2時，兩個已知方程有乙個公共根，這個公共根為3．
韋達定理及應用
一 知識要點 1 若一元二次方程中，兩根為，則，補充公式 2 以，為兩根的方程為 3 用韋達定理分解因式 二 例題 1 不解方程說出下列方程的兩根和與兩根差 1 2 3 2 已知關於的方程，是否存在負數，使方程的兩個實數根的倒數和等於4？若存在，求出滿足條件的的值 若不存在，說明理由。3 已知方程，...
韋達定理及其應用
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韋達定理專題
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